Aleph-Funktion

Die Aleph-Funktion, benannt nach dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als $\aleph$ geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung aller unendlichen Kardinalzahlen.

Definition

Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen ist unter Verwendung des Auswahlaxioms in der Klasse On der Ordinalzahlen enthalten, wobei jede Kardinalzahl κ mit der kleinsten zu κ gleichmächtigen Ordinalzahl identifiziert wird. Ferner ist das Supremum einer Menge von Kardinalzahlen stets wieder eine Kardinalzahl. Daher gibt es genau einen Ordnungsisomorphismus $\aleph$ von On auf die Klasse der Kardinalzahlen. Den Wert von $\aleph$ an der Stelle α bezeichnet man mit $\aleph_\alpha$, das heißt $\aleph_\alpha$ ist die α-te Kardinalzahl.

Die Aleph-Funktion lässt sich rekursiv wie folgt definieren:

• $\aleph_0$ = kleinste unendliche Ordinalzahl und damit auch kleinste unendliche Kardinalzahl,
• $\aleph_{\alpha+1}$ = kleinste Kardinalzahl, die größer als $\aleph_\alpha$ ist,
• $\aleph_\alpha = \sup \{\aleph_\beta;\, \beta < \alpha\}$ für Limes-Ordinalzahlen α.

Eigenschaften

Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist $\aleph_0$, die Kardinalität der abzählbaren Mengen. Die Nachfolger-Kardinalzahl, das heißt die kleinste Kardinalzahl größer als $\aleph_0$, ist $\aleph_1$, und so weiter. Die Frage, ob $\aleph_1$ gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist, ist die bekannte Kontinuumshypothese.

Allgemein ist $\aleph_\alpha$ eine Nachfolger-Kardinalzahl, falls α eine Nachfolger-Ordinalzahl ist, anderenfalls eine Limes-Kardinalzahl.

Üblicher Weise bezeichnet ω die kleinste unendliche Ordinalzahl. Diese ist gleich $\aleph_0$, aber als Index für die Aleph-Funktion verwendet man lieber die Ordinalzahl-Schreibweise. $\aleph_\omega$ ist damit die kleinste Limes-Kardinalzahl und kann als $\bigcup\{\aleph_n;\, n < \omega\}$ geschrieben werden.

Es gilt stets $\alpha \le \aleph_\alpha$ für alle Ordinalzahlen α. Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen α, für die $\alpha = \aleph_\alpha$ gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes ( = die Vereinigung) der Folge $\aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}}, \ldots$. Schwach unerreichbare Kardinalzahlen sind Fixpunkte der Aleph-Funktion.

Siehe auch

• Beth-Funktion

Literatur

• Georg Cantor:Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten, Arbeiten zur Mengenlehre aus dem Jahren 1872-1884, Teubner Leipzig, 1884.
• Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003) , ISBN 3-540-44085-2