Chirale Symmetrie

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Die Chirale Symmetrie ist eine mögliche Symmetrie der Lagrangefunktion in der Quantenfeldtheorie, die vielfach - zumindest näherungsweise - gegeben ist und dann eine wichtige Rolle spielt, z. B. bei den Pionen. Dabei werden linkshändiger und rechtshändiger Anteil der Fermionischen Felder unabhängig transformiert. Die chirale Symmetrietransformation kann aufgeteilt werden in eine Komponente, die linkshändigen und rechtshändigen Anteil gleich behandelt (Vektor-Symmetrie), und eine Komponente, die sie „entgegengesetzt“ behandelt (Axiale Symmetrie). Der letztgenannte Anteil verschwindet durch Quark-Kondensation in der erstgenannten Phase.

Beispiel: u- und d-Quarks in der QCD

Man betrachte die Quantenchromodynamik (QCD) mit den beiden masselosen Quarks u und d. Die Langrange-Funktion lautet

$\mathcal{L} = \overline{u}\,i\displaystyle{\not}D \,u + \overline{d}\,i\displaystyle{\not}D\, d + \mathcal{L}_\mathrm{Gluonen}\,.$

(Das i bedeutet dabei die imaginäre Einheit und $\displaystyle{\not}D$ den Dirac-Operator. Die u und d sind die üblichen Größen der Dirac-Theorie, mit je vier Komponenten.)

Nach der Quantenchromodynamik sind die Mesonen aus je einem Quark und einem Antiquark zusammengesetzt, z. B. das $\,\pi^+$ aus einem $\,u$ und einem $\overline d$. Das ändert jedoch die folgende Herleitung nicht bzw. nur „cum grano salis“.

In der Darstellung der linkshändigen und rechtshändigen Spinoren erhält man also zunächst

$\mathcal{L} = \overline{u}_L\,i\displaystyle{\not}D \,u_L + \overline{u}_R\,i\displaystyle{\not}D \,u_R + \overline{d}_L\,i\displaystyle{\not}D \,d_L + \overline{d}_R\,i\displaystyle{\not}D \,d_R + \mathcal{L}_\mathrm{Gluonen}\,.$

Es wird definiert

$q = \begin{bmatrix} u \\ d \end{bmatrix}\,.$

Somit folgt

$\mathcal{L} = \overline{q}_L\,i\displaystyle{\not}D \,q_L + \overline{q}_R\,i\displaystyle{\not}D \,q_R + \mathcal{L}_\mathrm{Gluonen}\,.$

Die Lagrangefunktion bleibt invariant bei Rotation der q_L mit unitären 2x2-Matrizen L und der q_R mit unitären 2x2-Matrizen R. Diese Symmetrie der Langrangefunktion wird Flavor-Symmetrie oder Chirale Symmetrie genannt und geschrieben als $U(2)_L \times U(2)_R$. Dies kann in folgenden Ausdruck zerlegt werden

$SU(2)_L \times SU(2)_R \times U(1)_V \times U(1)_A\,\,.$

Die Vektor-Symmetrie $U(1)_V\,$ lautet

$q_L \rightarrow e^{i\theta} q_L \qquad q_R \rightarrow e^{i\theta} q_R$

und entspricht der Baryonenzahl-Erhaltung.

Die entsprechende axiale Operation $U(1)_A\,$ ist

$q_L \rightarrow e^{i\theta} q_L \qquad q_R \rightarrow e^{-i\theta} q_R\,.$

Sie entspricht keiner  Erhaltungsgröße, da diesbezüglich eine Quanten-Anomalie auftritt.

Es stellt sich heraus, dass die verbleibende chirale Symmetrie $SU(2)_L \times SU(2)_R$ spontan gebrochen wird zur Vektor-Untergruppe $SU(2)_V\,$ (der Isospin-Gruppe). Die Symmetriebrechung äußert sich dabei durch ein entsprechendes, vollständiges Quark-Kondensat.

Die Goldstonebosonen, die den drei gebrochenen Generatoren der Transformation entsprechen, sind die Pionen. In der Realität ist wegen der endlichen Masse (vergleichsweise sehr schwach!) der Pionen $SU(2)_L \times SU(2)_R$ nur näherungsweise eine Symmetrie des Systems. Daher sind die Pionen nicht „echte“ masselose Goldstone-Bosonen, sondern nur sog. Pseudo-Goldstonebosonen.

Chiraler Limes

Von der „chiralen Symmetrie“ zu unterscheiden  ist der sog. „chirale Limes“ ($m\to 0$) einer einzelnen  Diracgleichung. Dieser Limes ist am besten bei Neutrinos bzw. ihren Antiteilchen mit ihrer wohldefinierten Chiralität realisiert ("Linksschraube" bzw. "Rechtsschraube" bzgl. Spin und Impuls bei Neutrinos bzw. Antineutrinos, $\quad \vec s \propto \mp \vec p$), sowie im Festkörper bei den sog. Graphenen.

Siehe auch

• Spontane Symmetriebrechung

Weblinks

• Starke Kraft zwischen rechts und links