Lerchsche Zeta-Funktion

Die Lerchsche Zeta-Funktion (nach Mathias Lerch) ist eine sehr allgemeine Zeta-Funktion. Sehr viele Reihen reziproker Potenzen (einschließlich der hurwitzschen Zeta-Funktion und des Polylogarithmus) können als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.

Definition

Die beiden Funktionen

$L(\lambda, \alpha, s) = \sum_{n=0}^\infty \frac { \exp(2\,\pi\,i\,\lambda\,n)} {(n+\alpha)^s}$

und

$\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac {z^n} {(n+\alpha)^s}$

werden als Lerchsche Zeta-Funktion oder "Transzendente Lerch-Funktion" bezeichnet. Die Verwandtschaft der beiden ist durch

$\,\Phi(\exp (2\,\pi\,\,i\,\lambda), s,\alpha)=L(\lambda, \alpha,s)$

gegeben.

Spezialfälle und spezielle Werte

• Die Hurwitzsche Zeta-Funktion:

$\,\zeta(s,n)=L(0,n,s)=\Phi(1,s,n)$

• Der Polylogarithmus:

$\,\textrm{Li}_s(z)=z\,\Phi(z,s,1)$

• Die Legendresche Chi-Funktion:

$\,\chi_n(s)=2^{-n}\,z\,\Phi(s^2,n,\tfrac 12)$

• Die Riemannsche ζ-Funktion:

$\,\zeta(s)=\Phi (1,s,1)$

• Die Dirichletsche η-Funktion:

$\,\eta(s)=\Phi (-1,s,1)$

• Die Dirichletsche Beta-Funktion:

$\beta(s)=2^{-s}\,\Phi(-1,s,\tfrac12)$

Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):^[1]

$\Phi(z,s,1)=\frac{\mathrm{Li}_s(z)}z$

$\Phi(z,0,a)=\frac1{1-z}$

$\Phi(0,s,a)=\left(a^2\right)^{-\frac s2}$

$\Phi(0,s,a)=a^{-s}\,$

$\Phi(z,1,1)=-\frac{\log(1-z)}z$

$\Phi(1,s,\tfrac12)=(2^s-1)\zeta(s)$

$\Phi(-1,s,1)=(1-2^{1-s})\zeta(s)\,$

$\Phi(0,1,a)=\frac1{\sqrt{a^2}}$

Ferner ist

$\begin{align} &\Phi(-1,2,\tfrac12)&=&\; 4\,G \\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-1,1) &=&\; \log\left(\frac{A^3}{\sqrt[3]{2}\,\sqrt[4]{\mathrm e}}\right) \\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-2,1) &=&\; \frac{7\,\zeta(3)}{4\,\pi^2} \\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-1,\tfrac12) &=&\; \frac{G}\pi \end{align}$

mit der catalanschen Konstanten G, der Glaisher-Kinkelin-Konstanten A und der Apery-Konstanten ζ(3) der Riemannschen Zeta-Funktion.

Weitere Formeln

Integraldarstellungen

Eine mögliche Integraldarstellung lautet

$\Phi(z,s,a)=\frac1{\Gamma(s)}\int\limits_0^\infty \frac{t^{s-1}\mathrm{e}^{-at}}{1-z\,\mathrm{e}^{-t}}\,\mathrm dt \qquad\quad\mathrm{ f\ddot ur }\; \begin{cases} & \mathrm{Re}\;a>0 \text{ und } \mathrm{Re}\;s>0 \text{ und } z<1 \\ \text{oder } & \mathrm{Re}\;a>0 \text{ und } \mathrm{Re}\;s>1\text{ und }z=1\end{cases}$

Das Kurvenintegral

$\Phi(z,s,a)=-\frac{\Gamma(1-s)}{2\,\pi\, i}\int\limits_0^\infty \frac{(-t)^{s-1}\mathrm{e}^{-a\,t}}{1-z\,\mathrm{e}^{-t}}\,\mathrm dt \qquad\qquad \mathrm{Re}\;a>0,\;\mathrm{Re}\;s<0,\;z<1$

darf die Punkte $t=\log z+2\,k\,\pi\,i,\;k\in\Z$ nicht enthalten.

Ferner ist

$\Phi(z,s,a)=\frac{1}{2\,a^s}+\int\limits_0^\infty\frac{z^t}{(a+t)^s}\,\mathrm dt+\frac2{a^{s-1}}\int\limits_0^\infty \frac{\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^2)^{s/2}\cdot (\mathrm{e}^{2\,\pi\,a\,t}-1)}\,\mathrm dt \qquad\qquad \mathrm{f\ddot ur}\; \mathrm{Re}\;a>0 \text{ und } |z|<1$

und

$\Phi(z,s,a)=\frac1{2\,a^s}+\frac{\log^{s-1}\dfrac1z}{z^a}\,\Gamma(1-s,a\log\dfrac1z)+\frac2{a^{s-1}}\int\limits_0^\infty \frac{\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^2)^{s/2}\cdot (\mathrm{e}^{2\,\pi\,a\,t}-1)}\,\mathrm dt \qquad\qquad \mathrm{f\ddot ur}\; \mathrm{Re}\,a>0.$

Reihendarstellungen

Eine Reihendarstellung für die transzendente Lerch ist

$\Phi(z,s,q)=\frac{1}{1-z}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-z}{1-z} \right)^n\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{-s}.$

Sie gilt für alle s und komplexe z mit $\mathrm{Re}\,z<\tfrac12$; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.

Falls s positiv und ganz ist, gilt

$\Phi(z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum_{{k=0}\atop k\neq n-1}^\infty\zeta(n-k,a)\frac{\log^k z}{k!}+\left[\Psi(n)-\Psi(a)-\log(-\log z)\right]\frac{\log^{n-1} z}{(n-1)!}\right\}.$

Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch

$\Phi(z,s,a+x)=\sum_{k=0}^\infty\Phi(z,s+k,a)(s)_k\frac{(-x)^k}{k!}\qquad\qquad |x|<\mathrm{Re}\,a$

gegeben.

Ist a = − n, gilt

$\Phi(z,s,a)=\sum_{k=0}^n\frac{z^k}{(a+k)^s}+z^n\sum_{m=0}^\infty(1-m-s)_m\,\mathrm{Li}_{s+m}(z)\frac{(a+n)^m}{m!}\qquad\qquad a\rightarrow-n$

Der Spezialfall n = 0 hat folgende Reihe:

$\Phi(z,s,a)=\frac{1}{a^s}+\sum_{m=0}^\infty(1-m-s)_{m}\,\mathrm{Li}_{s+m}(z)\frac{a^m}{m!}\qquad\qquad |a|<1.$

Die Asymptotische Entwicklung für $s\rightarrow-\infty$ ist gegeben durch

$\Phi(z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty\left[2\,k\,\pi\,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm{e}^{2\,k\,\pi\,a\,i} \qquad\qquad |a|<1,\;\mathrm{Re}\;s<0,\; z\notin (-\infty,0)$

und

$\Phi(-z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty\left[(2\,k+1)\pi\,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm{e}^{(2\,k+1)\pi\,a\,i} \qquad\qquad |a|<1,\;\mathrm{Re}\,s<0,\; z\notin (0,\infty).$

Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt

$\Phi(z,s,a)=\frac1{2\,a^s}+\frac1{z^a}\sum_{k=1}^\infty \frac{\mathrm{e}^{-2\,\pi\,i\,(k-1)a}\,\Gamma(1-s,a\,(-2\,\pi\,i\,(k-1)-\log z))}{(-2\,\pi\,i\,(k-1)-\log z)^{1-s}}+\frac{\mathrm{e}^{2\,\pi\,i\,k\,a}\,\Gamma(1-s,a\,(2\,\pi\,i\,k-\log z))}{(2\,\pi\,i\,k-\log z)^{1-s}} \quad |a|<1,\;\mathrm{Re}\,s<0.$

Identitäten und weitere Formeln

$\Phi(z,s,a)=z^n\,\Phi(z,s,a+n) + \sum_{k=0}^{n-1} \frac {z^k}{(k+a)^s}$

$\Phi(z,s-1,a)=\left(a+z\frac{\partial}{\partial z}\right) \Phi(z,s,a)$

$\Phi(z,s+1,a)=-\,\frac{1}{s}\,\frac{\partial}{\partial a} \Phi(z,s,a)$

$\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{x^{u-1}\cdot y^{v-1}}{1-x\,y\,z} (-\log(x\,y))^s\,\mathrm dx\,\mathrm dy =\Gamma(s+1)\,\frac{\Phi(z,s+1,v)-\Phi(z,s+1,u)}{u-v} \quad\;\;\mathrm{f\ddot ur}\, \begin{cases} z\in\C\,\setminus [1,\infty) \text{ und } \mathrm{Re}\;s>-2 \\ z=1\text{ und Re}\;s>-1\end{cases}$^[2]

$\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{(x\,y)^{u-1}}{1-x\,y\,z} (-\log(x\,y))^s\,\mathrm dx\,\mathrm dy =\Gamma(s)\,\Phi(z,s+2,u) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\text{ebendann}$

Literatur

• Mathias Lerch: Démonstration élémentaire de la formule: $\scriptstyle\frac{\pi^2}{\sin^2{\pi x}}=\sum_{\nu=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x+\nu)^2}$, L'Enseignement Mathématique 5(1903): S. 450–453
• M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series $\scriptstyle_2\psi_2$, J. London Math. Soc. 25 (3), 1950: S. 189–196
• Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247-270; vgl. in arxiv
• Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 9781402010149 online

Weblinks

• Ramunas Garunkstis: Home Page (Referenzensammlung)
• Ramunas Garunkstis, Approximation of the Lerch Zeta Function
• S. Kanemitsu, Y. Tanigawa und H. Tsukada: A generalization of Bochner's formula, (undatiert, 2005 oder früher)
• Eric W. Weisstein: Lerch Transcendent. In: MathWorld. (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/LerchPhi/03/ShowAll.html
2. ↑ Guillera, Sondow 2008, Theorem 3.1 (siehe Lit.)