Satz von König (Mengenlehre)

Satz von König (Mengenlehre)

Der Satz von König ist ein Satz aus der Mengenlehre, der von dem ungarischen Mathematiker Julius König 1905 entdeckt wurde. Der Satz ist eine strikte Ungleichung zwischen zwei Kardinalzahlen.

Inhaltsverzeichnis

Aussage

Für eine Familie \langle\kappa_i\mid i\in I\rangle von Kardinalzahlen ist die Summe dieser Kardinalzahlen die Mächtigkeit der disjunkten Vereinigung von Mengen der Mächtigkeit κi,

\sum_{i\in I}\kappa_i =\vert\bigcup_{i\in I}M_i\vert,

und das Produkt die Mächtigkeit des kartesischen Produkts,

\prod_{i\in I}\kappa_i = | \prod_{i \in I} M_i| = \vert\{f\colon I\to\textstyle\bigcup_{i\in I}M_i\mid\forall i\in I\ f(i)\in M_i\}\vert.

Hierbei sind die Mi paarweise disjunkte Mengen mit \vert M_i\vert=\kappa_i, zum Beispiel M_i = \kappa_i \times \{i\}. Die Wohldefiniertheit beider Operationen folgt aus dem Auswahlaxiom.

Der Satz von König besagt nun:

Für zwei Kardinalzahlfolgen \langle\kappa_i\mid i\in I\rangle und \langle\lambda_i\mid i\in I\rangle mit κi < λi für alle i \in I gilt:

\sum_{i\in I}\kappa_i<\prod_{i\in I}\lambda_i.

Beweis

Seien \langle X_i\mid i\in I\rangle, \langle Y_i\mid i\in I\rangle zwei Familien von paarweise disjunkten Mengen mit \vert X_i\vert=\kappa_i<\lambda_i=\vert Y_i\vert. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass X_i \subsetneq Y_i. Es ist zu zeigen: Es gibt eine injektive, aber keine bijektive Abbildung

\Phi\colon \bigcup_{i\in I} X_i\to \prod_{i \in I} Y_i = \{f \colon I\to\textstyle\bigcup_{i\in I} Y_i\mid\forall i\in I \ f(i)\in Y_i\}

Für jedes i\in I sei αi ein Element aus Y_i\setminus X_i. Sei \textstyle x\in\bigcup_{i\in I}X_i. Dann gibt es ein eindeutiges j\in I mit x\in X_j. Sei \textstyle f:=\Phi(x) \in \prod_{i \in I} Y_i die Funktion mit

f(i)=\begin{cases} x, & i=j\\ \alpha_i, & i\neq j\end{cases}.

Dann ist Φ injektiv.

Sei nun eine beliebige solche Abbildung Φ gegeben. Für i\in I definiere f(i) als ein Element aus Y_i\setminus\{\Phi(x)(i)\vert x\in X_i\}. Dann ist f an der Stelle i verschieden von allen Bildern von Φ aus Xi. Da dies für alle i\in I gilt, ist Φ nicht surjektiv und damit nicht bijektiv.

Folgerungen

Aus dem Satz von König lassen sich weitere Ungleichungen unmittelbar herleiten (κ und λ seien beliebige Kardinalzahlen):

Literatur

  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
  • König, Julius: Zum Kontinuumsproblem, Mathematische Annalen 60 (1905), 177-180.

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