Satz von König-Huyghens

In der Mathematik besagt der Satz von König-Huyghens, dass die Varianz einer Zufallsvariable nur anhand deren Erwartungswert berechnet werden kann:

$\operatorname{Var}(X)\equiv E\bigl[(X-E[X])^2\bigr]=E[X^2]-E[X]^2.$

Der Satz von König-Huyghens kann anhand drei anderer Sätze bewiesen werden:

• Der Binomische Lehrsatz
• Die Linearität des Erwartungswertes
• Der Erwartungswert einer Konstante ist die Konstante selbst

Aus diesen drei Sätzen folgt:

$\begin{align} E\bigl[(X-E[X])^2\bigr]& = E\bigl[X^2 - 2XE[X] + E[X]^2\bigr]\\ & = E[X^2] - E\bigl[2XE[X]\bigr] + E\bigl[E[X]^2\bigr]\\& = E[X^2] - 2E[X]E[X] + E[X]^2\\& = E[X^2] - E[X]^2.\end{align}$