Darstellungssatz

Darstellungssatz

Der rieszsche Darstellungssatz (nach Frigyes Riesz) charakterisiert in der Mathematik den Dualraum der Banachräume Lp, beziehungsweise in seiner Version auf C0(X) dem Dualraum der stetigen Funktionen auf einem lokalkompaktem Hausdorff-Raum. Er stellt die stetigen linearen Funktionale als Integral dar. Mit diesem Satz kann man schließlich das Lemma von Lax-Milgram beweisen, welches eine zufriedenstellende Existenztheorie für viele partielle Differentialgleichungen sichert.

Inhaltsverzeichnis

Aussage auf Lp

Sei zunächst zu 1\leq p < \infty der konjugierte Exponent q mit \frac 1 p + \frac 1 q = 1 gegeben. Im Falle p = 1 wähle man q=\infty. Dann gibt es zu jedem stetigen linearen Funktional A\in (L^p)^* ein g\in L^q, so dass

A(f) = \int g(x) f(x){\rm d} x für alle f\in L^p

erfüllt ist.

Zum Beweis betrachtet man zunächst den Hilbertraumfall, also p=2, und beweist diese Aussage mit dem Projektionssatz. Den allgemeinen Fall führt man dann geschickt auf den soeben bewiesenen Spezialfall unter Anwendung eines Regularitätssatzes zurück.

Aussage auf C0(X)

X sei ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und A: C_0(X) \to \C ein nicht-negatives, lineares Funktional. Dann existiert ein eindeutiges Radon-Maß μ auf X, so dass

A(f) = f(x)dμ(x)
X

für alle f\in C_0(X) erfüllt ist.

Zum Beweis definiert man zunächst

\mu(V):=\sup\{|A(f)| : f\in C_0(V), |f|\le 1\} für alle offenen V\subseteq X

und

\mu(A):=\inf\{\mu(V) : V\supseteq A \text{ offen}\} für alle A\subseteq X.

Anschließend wir nachgewiesen, dass dies ein Maß, dann dass es ein Radon-Maß ist.

Alternative Formulierung

Diese Formulierung ist allgemeiner und wird in der Fachliteratur als Darstellungssatz von Frechét-Riesz bezeichnet.

Sei H ein Hilbertraum mit Skalarprodukt \left \langle \cdot, \cdot \right \rangle und induzierter Norm \left \| \cdot \right \|_H. Die Menge \mathcal{B}(H,\mathbb{C}) der linearen, stetigen (und also auch beschränkten) Funktionale über H wird mit der durch

\left\| T \right\|_{\mathcal{B}(H,\mathbb{C})}
=\sup_{\left \| x \right \|_H \ne 0} \frac{\left\| Tx \right \|_H}{\left \| x \right \|_H}
=\sup_{\left \| x \right \| = 1} \left\| Tx \right \|_H

definierten Norm zu einem Banachraum.

Dann gilt: Für jedes lineare und stetige Funktional T \in \mathcal{B}(H,\mathbb{C}) existiert ein eindeutiges y\in H mit

Tx = \left \langle x, y \right \rangle für alle x\in H

und

\left\| T \right\|_{\mathcal{B}(H,\mathbb{C})} = \|y\|_H\ .

Konsequenzen

Neben dem oben erwähnten Lemma von Lax-Milgram folgt aus dem Satz auch noch die Existenz eines isometrischen Isomorphismus von (Lp) * nach Lq. Zweimalige Anwendung dieser Überlegung liefert schließlich die Reflexivität der Banachräume Lp für 1<p<\infty.

Literatur

  • Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York Juni 2006, ISBN 978-3-540-34186-4 (Dieses Buch ist eine schöne Einführung in dieses doch recht abstrakte Themengebiet. Besonderer Wert wird hier auf die Regularitätstheorie schwacher Lösungen partieller Differentialgleichungen gelegt.). 
  • Friedrich Sauvigny: Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik. Band 1, Springer-Verlag, 2004 (Ein sehr ungewöhnliches Buch mit einer ausgeprägten Existenztheorie für klassische Lösungen und mit gut ausgearbeiteten Theorie über nicht-lineare Systeme in zwei Variablen. Hier ist auch der Beweis des Rieszschen Satzes im allgemeinen Fall zu finden.)
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, 2004 (Hier wird besonders viel Wert auf die Spektraltheorie auch unbeschränkter Operatoren gelegt. Die exakte Einführung der Distributionstheorie ist hier ebenfalls sehr gelungen.)

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