Dirichletscher Einheitensatz

Dirichletscher Einheitensatz

Der nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte dirichletsche Einheitensatz ist eines der ersten Ergebnisse der algebraischen Zahlentheorie. Der Satz beschreibt die Struktur der Einheitengruppe des Ganzheitsringes eines algebraischen Zahlkörpers.

Formulierung

Es sei K ein algebraischer Zahlkörper und \mathcal{O}_K sein Ganzheitsring. Dann ist die Einheitengruppe \mathcal{O}_K^\times endlich erzeugt, und der Rang ihres freien Anteils ist gleich

r + s − 1;

dabei ist r die Anzahl der Einbettungen K\to\mathbb R und s die Anzahl der Paare komplex-konjugierter Einbettungen K\to\mathbb C (die keine reellen Einbettungen sind). Ist die Erweiterung K/\mathbb{Q} galoissch, so ist r oder s gleich 0.

Der Torsionsanteil der Einheitengruppe ist die Gruppe der Einheitswurzeln in K.

Beweisskizze in einem Spezialfall

Es sei K=\mathbb Q(\sqrt2)\subset\mathbb R (wir wählen also bereits eine reelle Einbettung); dann ist \mathcal{O}_K=\mathbb Z[\sqrt2], und die Einheitengruppe

\mathcal{O}_K^\times=\{x+y\sqrt2\mid x,y\in\mathbb Z,\quad x^2-2y^2=\pm1\}.

(Die Gleichung x^2-dy^2=\pm1 trägt den Namen pellsche Gleichung.)

In diesem Fall ist r = 2 und s = 0, der dirichletsche Einheitensatz sagt also voraus, dass der Rang von \mathcal{O}_K^\times gleich 1 ist.

Da beispielsweise 3+2\sqrt2 eine Einheit ist, die keine Einheitswurzel ist, muss der Rang mindestens 1 sein. Wäre der Rang größer, so könnte \mathcal{O}_K^\times\cap\mathbb R^\times_{>0} keine diskrete Untergruppe von \mathbb R^\times_{>0} sein, und man weiß, dass eine Untergruppe von \mathbb R^\times_{>0} entweder diskret oder dicht ist. Es gäbe also eine Einheit, die "ungefähr" 1 ist. Nun sind aber x+y\sqrt2 und x-y\sqrt2 zwei Zahlen, deren Produkt \pm1 ist, ist also die eine von ihnen ungefähr 1, so ist die andere ungefähr \pm1. Andererseits unterscheiden sie sich um die Zahl 2y\sqrt2, die "wesentlich" größer als der Abstand zwischen 1 und \pm1 ist, falls y\ne0 ist. Ist aber y = 0, so ist offenbar x=\pm1, wir erhalten also nur die Einheitswurzeln \pm1\in \mathcal{O}_K^\times.


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet — Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [ləˈʒœn diʀiˈçle] (* 13. Februar 1805 in Düren; † 5. Mai 1859 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Dirichlet lehrte in …   Deutsch Wikipedia

  • Elementare Zahlentheorie — Ursprünglich ist die Zahlentheorie (auch: Arithmetik) ein Teilgebiet der Mathematik, das sich allgemein mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen und insbesondere mit den Lösungen von Gleichungen in den ganzen Zahlen (Diophantische Gleichung)… …   Deutsch Wikipedia

  • Zahlkörper — Ein (algebraischer) Zahlkörper ist eine endliche (und daher algebraische) Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen . Die Untersuchung algebraischer Zahlkörper und unendlicher algebraischer Erweiterungen von ist der zentrale Gegenstand der… …   Deutsch Wikipedia

  • Liste von Mathematikern — Diese Liste bedeutender Mathematiker stellt eine Auswahl von Mathematikern von der Antike bis zu Gegenwart dar. Die Auswahl der Mathematiker richtet sich dabei nach ihren wissenschaftlichen Leistungen oder ihrem Bekanntheitsgrad, aufgrund deren… …   Deutsch Wikipedia

  • Liste mathematischer Sätze — Inhaltsverzeichnis A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A Satz von Abel Ruffini: eine allgemeine Polynomgleichung vom …   Deutsch Wikipedia

  • Algebraischer Zahlkörper — Ein algebraischer Zahlkörper oder kurz ein Zahlkörper bezeichnet in der Mathematik eine endliche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen . Die Untersuchung algebraischer Zahlkörper ist ein zentraler Gegenstand der algebraischen… …   Deutsch Wikipedia

  • Minkowskischer Gitterpunktsatz — Der Minkowskische Gitterpunktsatz (nach Hermann Minkowski) sagt etwas über die Dichte von Gitterpunkten in einem Gitter aus. Inhaltsverzeichnis 1 Aussage des Satzes 2 Beispiel 3 Anwendungen 4 …   Deutsch Wikipedia

  • Peter Gustav Lejeune Dirichlet — Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ([ləˈʒœn diʀiˈkleː][1] oder [ləˈʒœn diʀiˈʃleː][ …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”