Dyadisches Gitter

Dyadisches Gitter

Die Menge der dyadischen Elementarzellen ist eine Partitionierung des p-dimensionalen Raumes und ist folgendermaßen definiert: Mit

\mathcal{W}_{n,\,(k_1,\ldots,k_p)} := \{(x_1,\ldots,x_p) \in \R^p: \frac{k_i}{2^n} \leq x_i < \frac{k_i+1}{2^n} \},\; k_i \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}

definiert man einen halboffenen Würfel im \R^p, der die Kantenlänge 2 n hat.


\mathcal{D}_n bezeichnet die Menge der dyadischen Elementarzellen der Ordnung n:

\mathcal{D}_n := \{\mathcal{W}_{n,\,(k_1,\ldots,k_p)}: k_i \in \mathbb{Z} \}, \; n \in \mathbb{N}


Die Menge aller dyadischen Elementarzellen im \R^p wird dann mit \mathcal{D} bezeichnet:

\mathcal{D} := \{ \mathcal{W}_{n,\,(k_1,\ldots,k_p)}: k_i \in \mathbb{Z} , n \in \mathbb{N}\}


Die Menge der Eckpunkte der dyadischen Elementarzellen \left\{\left(\frac{k_1}{2^n},\ldots,\frac{k_p}{2^n}\right): k_i \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\right\} wird das dyadische Gitter genannt.

Elementarzellen selber Ordnung sind also disjunkt und voneinander durch ein Gitter getrennt.

Beispiele

  • p=2: Elementarzellen sind Quadrate.
  • p=3: Elementarzellen sind Würfel.

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