Dyadisches Produkt

Das dyadische Produkt (kurz auch: Dyade - von griech. δύας, dýas "Zweiheit") heißt auch tensorielles Produkt und erzeugt einen Tensor zweiter Stufe mit dem Rang 1. Jedes Element c_ij der Dyade $\mathbf{C}$ aus den Vektoren a und b berechnet sich zu c_ij = a_ib_j.

$\mathbf{C} = a \otimes b$

In der linearen Algebra erzeugt das dyadische Produkt zweier Vektoren

$x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix}$    mit m Elementen und   ${y}=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$    mit n Elementen

eine $m \times n$-Matrix. Das dyadische Produkt wird durch einen Kreis mit Kreuz dargestellt, häufig auch einfach als Matrixprodukt eines Spaltenvektors mit einem Zeilenvektor.

$x \otimes y := x y^T = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 & y_2 & \cdots &y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {x_1 y_1 } & {x_1 y_2 } & \cdots &{x_1 y_n}\\ {x_2 y_1 } & {x_2 y_2 } & \cdots &{x_2 y_n}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ {x_m y_1 } & {x_m y_2 } & \cdots &{x_m y_n} \end{pmatrix}$

Das hochgestellte T steht für die transponierte Matrix.

Eigenschaften

Das dyadische Produkt ist nicht kommutativ, es gilt vielmehr mit wenigen Ausnahmen (u.a.: einer der beiden Vektoren ist der Nullvektor, oder es ist x = λy mit beliebigem Skalar λ):

$x \otimes y \neq y \otimes x$

Daneben gelten weitere Eigenschaften:

$\begin{align} (\lambda x) \otimes y &= x \otimes (\lambda y) = \lambda(x \otimes y), \\ x \otimes (y + z) &= x \otimes y + x \otimes z, \\ (x + y) \otimes z &= x \otimes z + y \otimes z, \\ (x \otimes y) z &= x \langle y, z\rangle, \\ x^T (y \otimes z) &= \langle x, y\rangle z^T. \end{align}$

Hierbei wird mit $\langle a, b\rangle$ das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b bezeichnet.

Da $x \otimes x$ offensichtlich kommutativ ist, ist der Ergebnistensor symmetrisch, d.h. es gilt: $x \otimes x = (x \otimes x)^T$.

Verwendung

In vielen Anwendungen wird ein dyadisches Produkt nicht komponentenweise ausgerechnet, sondern zunächst stehen gelassen und erst ausgewertet, wenn es mit weiteren Termen multipliziert wird. Im folgenden Beispiel wird eine Dyade $a\otimes b$ mit einem Vektor c multipliziert und ergibt einen Vektor, der parallel zu a ist:

$(a\otimes b)\cdot c = a \langle b, c \rangle.$

Diese Gleichung ergibt sich, indem der Ausdruck oben als Produkt von Zeilen- und Spaltenvektoren geschrieben wird. Unter Nutzung der Assoziativität der Matrixmultiplikation erhält man:

$\begin{align} (a\otimes b)\cdot c &= \left( \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots\\ a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix}b_1 & \cdots & b_n\end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix} c_1\\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots\\ a_n \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix}b_1 & \cdots & b_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1\\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix} \right)\\ &=a \langle b, c \rangle \end{align}$

Das dyadische Produkt eines Einheitsvektors n mit sich selbst ist ein Projektionsoperator:

$(n\otimes n)\cdot x = n \langle n, x \rangle$

projiziert einen gegebenen Vektor x orthogonal auf einen Strahl dessen Richtung durch n gegeben ist.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15. Auflage. Vieweg Verlag, ISBN 3528032170.
• Horst Stöcker (2007): Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. 4. Auflage. Verlag Harri Deutsch, ISBN 9783817118120
• A.J.M. Spencer (1992): Continuum Mechanics. Dover Publications, ISBN 0486435946.
• R. Zurmühl und S. Falk (1997): Matrizen und ihre Anwendungen 1. 7. Auflage. Springer Verlag, ISBN 3540614362
• H. K. Iben (1999): Tensorrechnung. 2. Auflage. B. G. Teubner, ISBN 3519002469
• M. Hermann (2006): Numerische Mathematik. 2. Auflage. Oldenbourg Verlag, ISBN 3486579355
• J. Pahl und R. Damrath (2000): Mathematische Grundlagen der Ingenieurinformatik. Springer Verlag, ISBN 3540605010