Elementare Sprache

Elementare Sprache

Eine Elementare Sprache LS (auch: Sprache erster Stufe mit der Symbolmenge S) ist eine im Rahmen der Prädikatenlogik erster Stufe definierte formale Sprache. Mit diesen Sprachen lassen sich mathematische Theorien formallogisch behandeln; so z.B. die Gruppentheorie, die Mengenlehre usw. Die Erfahrung zeigt sogar, dass sich alle mathematischen Aussagen in einer geeigneten Sprache erster Stufe formalisieren lassen, und dass sich alle beweisbaren Aussagen innerhalb einer Sprache erster Stufe mit Hilfe des Sequenzenkalküls ableiten lassen.[1]

Inhaltsverzeichnis

Das Alphabet einer Sprache erster Stufe

Definition: Das Alphabet einer Sprache erster Stufe umfasst folgende Zeichen:

(a) v_0, v_1,\ldots (Variablen)
(b) \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow (nicht, und, oder, wenn - so, genau dann wenn)
(c) \forall, \exists (für alle, es gibt)
(d) \equiv (Gleichheitszeichen)
(e) ),( (Klammersymbole)
(f)
(1) für jedes n\ge 1 eine (eventuell leere) Menge von n-stelligen Relationssymbolen Rn;
(2) für jedes n\ge 1 eine (eventuell leere) Menge von n-stelligen Funktionssymbolen fn;
(3) eine (eventuell leere) Menge von Konstanten cn.

Die Menge der Zeichen unter (a) bis (e) sind die logischen Zeichen; sie sind für alle Sprachen erster Ordnung dieselben; sie werden mit A bezeichnet.

Die Menge der Zeichen unter (f) bezeichnet man als Symbolmenge (auch Signatur) S=\{R_1,R_2,\ldots,f_1,f_2,\ldots, c_1,c_2,\ldots\}; durch sie wird die spezielle Sprache erster Stufe bestimmt.

Hinweis: In Alphabet (Mathematik) sind bei sonst identischer Definition die Konstanten aus (f)(3) nicht aufgeführt; dafür sind in (f)(1) nullstellige Relationen erlaubt (n = 0), die den Konstanten aus der obigen Definition entsprechen.

Beispiel: Gruppentheorie

Um den Begriff der Gruppe und die definierenden Axiome zu formalisieren, geht man wie folgt vor:

  1. Die Variablen x,y,z,\ldots stehen für Elemente der Gruppe; außerdem gibt es eine Konstante e.
  2. Es wird ein Symbol \circ eingeführt; dieses steht für die zweistellige Verknüpfung zweier Elemente.
  3. Assoziativgesetz: \forall x \forall y \forall z (x\circ y)\circ z \equiv x\circ(y\circ z)
  4. Neutrales Element: \forall x (x\circ e\equiv x)
  5. Inverse Elemente: \forall x \exists y (x\circ y \equiv e)

In diesem Fall gibt es also ein zweistelliges Relationssymbol \circ sowie eine einzige Konstante e.

Weitere Beispiele

Relationssymbole Funktionssymbole Konstanten Name
\leq (zweistellig) +, \cdot (beide zweistellig) 0, 1 Geordnete Körper
\circ (zweistellig) e Gruppen
+,\cdot (beide zweistellig) 0, 1 Ringe
(zweistellig) Äquivalenzrelation

Terme

Die Definition der Terme TS einer Elementaren Sprache erfolgt rekursiv. Ein Term der elementaren Sprache wird durch endlich viele Anwendungen der folgenden Regeln erhalten

  1. Konstantensymbole sind Terme.
  2. Variablensymbole sind Terme.
  3. Wenn f ein n-stelliges Funktionssymbol und t_1,\ldots,t_n Terme sind, dann ist auch f(t_1,\ldots,t_n) ein Term.
Symbolmenge S Beispiel für Terme aus TS
(0,1,+,\cdot,<)\ 0,1,0+1,(0+v_1)\cdot((v_0+1)+(v_2+1))\ ,
( 0 , + )\  0+v_0\
(1,S)\ 1, S(1),S(S(1)),\ldots

Formeln

Die Formeln der Sprache LS werden durch endlich viele Anwendungen der folgenden Regeln erhalten:

Atomformeln

  1. Wenn t1 und t2 Terme sind, dann ist t1 = t2 eine Formel.
  2. Wenn R ein n-stelliges Relationssymbol und t_1,\ldots,t_n Terme sind, dann ist R(t_1,\ldots,t_n) eine Formel.

Aussagenlogische Verknüpfungen

  1. Wenn ψ eine Formel ist, dann auch \neg\psi.
  2. Wenn ψ und θ Formeln sind, dann auch
    • \psi\wedge\theta
    • \psi\vee\theta
    • \psi\rightarrow\theta
    • \psi\leftrightarrow\theta

Quantoren

Wenn ψ eine Formel ist, dann auch

  1. \exists x \psi
  2. \forall x \psi

Die elementare Sprache LS zur Symbolmenge (Signatur) S besteht nun aus allen nach den obigen Regeln gebildeten Formeln.

Quellen

  • H.D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik. Mannheim-Leipzig-Wien-Zürich; BI-Wiss. Verlag, 1992, ISBN 3-411-15603-1
  • Hans-Peter Tuschik, Helmut Wolter: Mathematische Logik - kurzgefasst. Grundlagen, Modelltheorie, Entscheidbarkeit, Mengenlehre. Mannheim-Leipzig-Wien-Zürich; BI-Wiss. Verlag, 1994, ISBN 3-411-16731-9

Einzelnachweise

  1. Ebbinghaus u.a., Kapitel VII §2: Mathematik im Rahmen der ersten Stufe.

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