Alphabet (Mathematik)

Alphabet (Mathematik)

Unter einem Alphabet A versteht man eine nichtleere Menge von Zeichen bzw. Symbolen. Alphabete sind ein zentraler Begriff der theoretischen Informatik und sind die Grundbausteine von Wörtern, die wiederum die Bausteine von Sprachen bilden. Der zentrale Bestandteil einer Logik ist deren zugrundeliegende Sprache. Das Alphabet dieser Sprache gibt dann die Menge der zulässigen Zeichen an, die benutzt werden dürfen, um die Terme und Ausdrücke dieser Logik aufzubauen. Endliche lineare Reihen von Zeichen eines Alphabets heißen Zeichenreihen oder Wörter über A. Die Menge der Wörter wird mit A* bezeichnet. Auch die Zeichenreihe, die keine Symbole enthält, ist ein Wort - das leere Wort. Es wird mit ε bezeichnet.

Das Alphabet einer Prädikatenlogik erster Stufe[1]

Das Alphabet einer Prädikatenlogik erster Stufe umfasst die folgenden Zeichen:

  1. v_0, v_1, v_2, \ldots (Variablen)
  2. \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow (Negation (nicht), Konjunktion (und), Disjunktion (oder), Implikation (wenn - dann), Äquivalenz (genau dann wenn))
  3. \forall, \exists (universaler und existenzieller Quantor)
  4. \equiv (Gleichheitszeichen)
  5. ),(,, (Klammersymbole und Komma)
  6. des weiteren
    1. eine (eventuell leere) Menge von Konstantensymbolen
    2. für jedes n \ge 0 eine (eventuell leere) Menge von n-stelligen Relationssymbolen
    3. für jedes n \ge 0 eine (eventuell leere) Menge von n-stelligen Funktionssymbolen

Sei A die Menge der in (1) bis (5) aufgelisteten Symbole und S die Symbole aus (6). Dann bezeichne AS die Vereinigung von A und S. Man nennt AS das Alphabet der Prädikatenlogik erster Stufe und S seine Symbolmenge. Um das Alphabet einer Prädikatenlogik erster Stufe anzugeben, ist es ausreichend seine Symbolmenge anzugeben, da die Menge A bei allen Alphabeten für Prädikatenlogiken erster Stufe dieselbe ist.

Manchmal verzichtet man in einem Alphabet auf das Gleichheitszeichen. In diesem Fall muss die Symbolmenge zumindest ein Relationssymbol enthalten, da ansonsten keine Formeln gebildet werden können.

Beispiel

Die wichtigste Prädikatenlogik erster Stufe, die Sprache der Mengenlehre, enthält nur ein einziges Zeichen in der Symbolmenge ihres Alphabets, nämlich das zweistellige Relationssymbol \in (siehe Menge (Mathematik)).

Einzelnachweis

  1. Hans Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: Einführung in die mathematische Logik. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2007, ISBN 3-8274-1691-4.

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Alphabet (Begriffsklärung) — Alphabet (von altgriechisch ἀλφάβητος alphábētos, sinngemäß das „ABC“) steht für: Alphabet, in der Sprachwissenschaft die Menge von Buchstaben, aus denen die Worte einer menschlichen Schriftsprache zusammengesetzt werden Alphabet (Buchdruck), im… …   Deutsch Wikipedia

  • Geschichte der Mathematik — Die Geschichte der Mathematik reicht zurück bis ins Altertum. Inhaltsverzeichnis 1 Mathematik der alten Ägypter und Babylonier 1.1 Ägypten 1.2 Babylon 2 Mathem …   Deutsch Wikipedia

  • Faktor (Mathematik) — Die Multiplikation (v. lat.: multiplicare = vervielfachen, auch Malnehmen genannt) ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Inhaltsverzeichnis 1 Namensgebung 2 Rechengesetze 2.1 Gaußsche Summenfaktor Regel 3 …   Deutsch Wikipedia

  • Kardinalität (Mathematik) — In der Mathematik verwendet man den aus der Mengenlehre von Cantor stammenden Begriff der Mächtigkeit oder Kardinalität, um den für endliche Mengen verwendeten Begriff der „Anzahl der Elemente einer Menge“ auf unendliche Mengen zu verallgemeinern …   Deutsch Wikipedia

  • Differenz (Mathematik) — Unter der Subtraktion (auch Minus Rechnen) versteht man das Abziehen einer Zahl von einer anderen. Mathematisch handelt es sich bei der Subtraktion um eine zweistellige Verknüpfung. Die Subtraktion gehört zu den Grundrechenarten der Arithmetik.… …   Deutsch Wikipedia

  • Involution (Mathematik) — Der Begriff Involution bezeichnet in der Mathematik eine selbstinverse Abbildung. Die Bezeichnung leitet sich von dem lateinischen Wort involvere „einwickeln“ ab. Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Definition 3 Eigenschaften …   Deutsch Wikipedia

  • Kardinalzahl (Mathematik) — Kardinalzahlen (lat. cardo „Türangel“, „Dreh und Angelpunkt“; auch Grundzahlen) sind in der Mathematik eine Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zur Beschreibung der Mächtigkeit („Kardinalität“) von Mengen. Die Mächtigkeit einer endlichen… …   Deutsch Wikipedia

  • Formale Systeme — Die Artikel Formale Sprache, Formales System, Formales System (Logik) und Kalkül überschneiden sich thematisch. Hilf mit, die Artikel besser voneinander abzugrenzen oder zu vereinigen. Beteilige dich dazu an der Diskussion über diese… …   Deutsch Wikipedia

  • Elementare Sprache — Eine Elementare Sprache LS (auch: Sprache erster Stufe mit der Symbolmenge S) ist eine im Rahmen der Prädikatenlogik erster Stufe definierte formale Sprache. Mit diesen Sprachen lassen sich mathematische Theorien formallogisch behandeln; so z.B.… …   Deutsch Wikipedia

  • Arc4 — RC4 (auch bekannt als ARC4 oder ARCFOUR) ist eine einfache Stromchiffre. Er wurde 1987 von Ronald L. Rivest (Ron s Code 4) für RSA Data Security Inc. (heute RSA Security) entwickelt und von vielen bekannten Unternehmen und in einer Vielzahl von… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”