Idempotenz

Idempotenz ist ein Begriff aus der Mathematik und Informatik. Man bezeichnet ein Element einer Menge (also auch eine Funktion), das mit sich selbst verknüpft wieder sich selbst ergibt, als idempotent.

Definitionen

Idempotente Elemente

Ein Element a einer Menge X heißt idempotent bezüglich einer n-stelligen Verknüpfung $v\colon X^n \rightarrow X,\, n \in \N,$ falls gilt:

$v(a,\dots,a) = a.$

Idempotente Funktionen

Man nennt eine einstellige Verknüpfung oder Funktion $f\colon\, X \rightarrow X$ idempotent, wenn sie bezüglich der Komposition idempotent ist:

$f\circ f = f,$

d. h. $f(f(x)) = f\circ f(x) = f(x)$ für alle $x \in X.$

Idempotente algebraische Strukturen

Sind alle Elemente einer Halbgruppe (S, * ) idempotent bezüglich * , dann wird auch (S, * ) selbst idempotent genannt. Alternativ wird eine idempotente Halbgruppe auch oft als ein Band bezeichnet. ^[1][2] Jede kommutative Band heißt Halbverband. Man nennt eine Halbgruppe (S, * ) global idempotent, falls gilt:

$S*S = S\,$ mit $S*S := \{a*b \mid a,b \in S\}.$

Einen Halbring $(H,+,\cdot),$ einen Fastring $(F,+,\cdot)$ sowie einen Ring $(R,+,\cdot)$ bezeichnet man als idempotent, falls jeweils $(H,\cdot), (F,\cdot)$ bzw. $(R,\cdot)$ idempotent ist.

Beispiele

Idempotene Verknüpfungen:

• Bezüglich der Multiplikation sind 0 und 1 die beiden einzigen idempotenten reellen Zahlen, da $0 \cdot 0 = 0$ und $1 \cdot 1 = 1.$
• Bezüglich einer zweistelligen Verknüpfung * ist ein (links- oder rechts-)neutrales Element e stets idempotent: e * e = e.
• Ist $(V,\cup,\cap)$ ein Verband, so sind $(V,\cup)$ und $(V,\cap)$ Halbverbände.

Idempotente Abbildungen:

• Konstante Funktionen: $f\colon\, x \mapsto c.$
• Identische Abbildung: $\operatorname{id}\!\colon\, x \mapsto x.$
• Projektionen, z. B. $p\colon\, (x,y) \mapsto (x,0).$
• Betragsfunktionen: $|\,.\,|\colon\, x \mapsto |x|.$
• Hüllenoperatoren.
• Kernoperatoren.

Eigenschaften

• Eine $n\!\times\!n$-Matrix $A, n \in \N,$ über einem beliebigen Körper K ist genau dann idempotent bezüglich der üblichen Matrizenmultiplikation, wenn die durch sie induzierte lineare Abbildung

$f_A\colon\, K^n \to K^n,\; x \mapsto Ax,$

idempotent ist. Insbesondere sind die Eigenwerte von A allesamt 0 oder 1. Geometrisch können idempotente lineare Abbildungen als Projektion des Vektorraums auf einen Untervektorraum interpretiert werden.

• Jeder idempotente Ring $(R,+,\cdot)$ ist kommutativ, denn es gilt für alle $a,b \in R\colon$

$a + 0 + b = a + b = (a+b)\cdot(a + b) = a\cdot(a+b) + b\cdot(a+b) = a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = a + a\cdot b + b\cdot a + b,$

also

$0 = a\cdot b + b\cdot a$

und damit

$0 = (a\cdot b)\cdot(a\cdot b) + (a\cdot b)\cdot(a\cdot b) = a\cdot b + a\cdot b.$

Folglich ist

$a\cdot b = a\cdot b + 0 = a\cdot b + a\cdot b + b\cdot a = 0 + b\cdot a = b\cdot a.$

Insbesondere gilt auch:

$a + a = a\cdot a + a\cdot a = 0$ bzw. $\,-a = a.$

• Ein idempotenter Fastring $(F,+,\cdot)$ ist genau dann kommutativ, wenn er distributiv ist, denn:

Falls $(F,+,\cdot)$ kommutativ ist, gilt für alle $a,b,c \in F\colon$

$c \cdot (a + b) = (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) = (c \cdot a) + (c \cdot b).$

Ist hingegen $(F,+,\cdot)$ distributiv, so folgt daraus genau so wie bei einem idempotenten Ring die Kommutativität.

Informatik

In der Informatik wird Idempotenz von Recovery-Maßnahmen bei Datenbanken und Services gefordert, um Fehlertoleranz bei einem Absturz während einer Wiederanlaufphase zu gewährleisten. Undo- und Redo-Operationen müssen hier auch bei mehrfacher Hintereinanderausführung dasselbe Resultat zur Folge haben.

Rein lesende Services sind von Natur aus idempotent, da der Zustand der Daten nicht geändert wird. Jeder nicht idempotente schreibende Service kann aus fachlicher Sicht zu einem idempotenten Service gemacht werden.

Beispiel

Bei einem Service zum Verbuchen von Geldbeträgen ist der Aufruf einzahlen(100) nicht idempotent, da bei mehrmaligem Service-Aufruf der Betrag 100 mehrmals eingezahlt wird. Würde man hingegen neuerKontostand(600) aufrufen, so würde bei mehrmaligem Service-Aufruf der Kontostand gleich bleiben. Dieser Aufruf wäre idempotent.

Siehe auch

• Nilpotenz
• Involution (Mathematik)

Literatur

• Klaus Denecke, Shelly L. Wismath: Universal Algebra and Coalgebra. World Scientific 2009, ISBN 9789812837455, S. 214 (Auszug in der Google Buchsuche)
• Munindar Paul Singh, Michael N. Huhns: Service-oriented Computing: Semantics, Processes, Agents. Wiley 2005, ISBN 0470091487, S. 54 (Auszug in der Google Buchsuche)

Einzelnachweise

1. ↑ L. N. Shevrin: Semi-group of Idempotents. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.
2. ↑ Günther Eisenreich, Ralf Sube: Langenscheidts Fachwörterbuch Mathematik. Langenscheidt 1996, ISBN 3861170744, S. 381 (Auszug in der Google Buchsuche)