- Normaloider Operator
-
In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra. Ist X ein Hilbertraum, so heißt ein Operator
normal, falls er mit seiner Adjungierten
kommutiert, d.h. wenn
Dabei bezeichnet
die Menge aller stetigen linearen Abbildungen von X nach Y und
die Menge der stetigen Endomorphismen von X.
Eigenschaften
Sei
ein normaler Operator. Dann gilt:
für alle
für alle
- Operatornorm = Spektralradius, d.h.:
- Die von A erzeugte C*-Algebra und die von A erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
- Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
- Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall {0} ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
Verwandte Begriffe
Ein Operator
heißt
- quasinormal, falls
mit
vertauscht, das heißt
.
- subnormal, falls es einen Hilbertraum Y gibt, so dass X unterraum von Y ist, und einen normalen Operator
, so dass
und
- hyponormal, falls
für alle
.
- paranormal, falls
für alle
.
- normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d.h.:
.
Es gelten folgende Implikationen:
normal
quasinormal
subnormal
hyponormal
paranormal
normaloid.
Literatur
- Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), 3-519-22206-X.
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