- Ortsdarstellung
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Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.
Der physikalische Zustand eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H gegeben. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt. Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen , so dass
der Mittelwert (Erwartungswert) der Meßergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand ist.
Definition und Eigenschaften
- Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren , die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren die folgenden, kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen,
- Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.
- Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum H ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums , jeder Zustand Ψ ist durch eine Ortswellenfunktion gegeben. Die Ortsoperatoren sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, das heißt, der Ortsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen ψ(x) durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion xj
Der Erwartungswert ist
Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator
- In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen
und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator
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