Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)

Der harmonische Oszillator in der Quantenmechanik, auch quantenharmonischer Oszillator, beschreibt – analog zum harmonischen Oszillator in der klassischen Physik – das Verhalten eines Teilchens (hier beschrieben durch eine Wellenfunktion) in einem harmonischen Potential.

Ein Beispiel der klassischen Physik ist ein Massenpunkt an einer Feder. Dieser Massenpunkt, welcher sich in einem harmonischen Potential

$V(x)=\frac 12 k x^2$

befindet, erfährt eine Auslenkung aus der Ruhelage proportionale Rückstellkraft

$F(x) = -\frac{\partial V(x)}{\partial x} = - kx,$

wobei k die Federkonstante ist.

Der quantenharmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik, da es eines der wenigen geschlossen (also ohne Näherungen und numerische Methoden) lösbaren Systeme der Quantenmechanik ist. Mit ihm können eine Reihe physikalischer Sachverhalte näherungsweise beschrieben werden:

• In der Molekülphysik erlaubt er eine Näherung der Bindungsverhältnisse zwischen Atomen und ermöglicht so z. B. eine Vorhersage über Schwingungsspektren. Dies lässt sich verdeutlichen, indem eine Bindung durch zwei über eine Feder (harmonisches Potential) miteinander verbundende Massepunkte (die Atome), die gegeneinander schwingen, dargestellt wird:

Die lineare Rückstellkraft F(x) einer solchen Feder führt auf ein harmonisches Potential V(x) (proportional x²) und somit auf den harmonischen Oszillator. In realen Molekülen sieht das Potential etwas anders aus, aber der harmonische Oszillator ist, zumindest für niedrige Schwingungsenergien, eine gute Näherung.

• Ein weiteres Beispiel ist die Torsionsschwingung des Ethenmoleküls, die in der folgenden Zeichnung dargestellt ist:

Dabei verdrillt sich sozusagen die Doppelbindung und jeweils zwei Wasserstoff-Atome schwingen drehend gegeneinander.

• In der modernen Atomphysik werden zu untersuchende Atome und Ionen in optischen Fallen bzw. Ionenfallen gefangen und gekühlt, um z. B. bei Messungen eine höhere Auflösung zu erhalten. Außerdem kann man in solchen Fallen neue Zustände der Materie untersuchen (z. B. Bose-Einstein-Kondensate, Fermi-Kondensate). Solche Fallen weisen ein, in erster Näherung, parabolisches Potential auf. Somit können Teilchen in diesen Fallen ebenfalls mit dem Modell des quantenmechanischen harmonischen Oszillators beschrieben werden.
• In der Festkörperphysik beschreibt das Einstein-Modell (nach Albert Einstein) eine Methode, um den Beitrag der Gitterschwingungen (Phononen) zur Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers zu berechnen. Grundlage ist die Beschreibung des Festkörpers als aus N quantenharmonischen Oszillatoren bestehend, die jeweils in drei Richtungen unabhängig schwingen können. Außerdem können Phononen auch durch eine Ansammlung gekoppelter harmonischer Oszillatoren beschrieben werden. Dabei ist jedes Atom im Kristallgitter ein Oszillator, der an seine Nachbaratome gekoppelt ist.

Geschichte

Im Jahr 1900 entwickelte Max Planck eine Formel zur Beschreibung der gemessenen Frequenzverteilung der von einem Schwarzkörper emittierten Strahlung, wobei er von der Annahme ausging, dass der schwarze Körper aus Oszillatoren mit diskreten Energieniveaus besteht^[1].

Über die geschichtliche Entwicklung der Quantenmechanik, siehe Hauptartikel Quantenmechanik – Geschichte

Einführung

Die klassische Hamilton-Funktion für ein Teilchen mit der Masse m in einem harmonischen Potential $V(\vec x) = \tfrac{1}{2}k \vec x^2$ mit k = mω², wobei ω die Eigenfrequenz des harmonischen Oszillators ist, lautet:

$H = \frac{\vec p^2}{2 m} + \frac{m \omega^2 \vec x^2}{2}$

Die Hamilton-Funktion beschreibt hier die Gesamtenergie des Systems, also die Summe aus kinetischer Energie (erster Term) und potentieller Energie (zweiter Term).

Nun werden der Ort $\vec x$ und der Impuls $\vec p$ durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren ersetzt (Korrespondenzprinzip):

Ortsoperator: $\vec{x}\rightarrow \hat{\vec{x}}=\vec{x}\qquad$ und

Impulsoperator: $\vec p\rightarrow\hat{\vec p}=-i\hbar\vec\nabla$

$\vec\nabla$ bezeichnet den Nabla-Operator. Der letzte Teil der Ausdrücke ist jeweils die Ortsdarstellung der Operatoren. Damit geht die klassische Hamilton-Funktion in den Hamilton-Operator in der Ortsdarstellung über:

$\hat H = \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2 m} + \frac{m \omega^2 \hat{\vec{x}}^2}{2} = -\frac{\hbar^2}{2 m}\vec{\nabla}^2 + \frac{m \omega^2 \vec{x}^2}{2}$

Wobei $\vec\nabla^2 = \Delta$ den Laplace-Operator bezeichnet. Im eindimensionalen Fall reduziert sich der Nabla-Operator $\vec\nabla$ auf die partielle Ableitung $\tfrac{\partial}{\partial x}$. Im Folgenden wird zunächst nur der eindimensionale Fall betrachtet.

Die Schrödinger-Gleichung des Systems

Mit dem oben beschriebenen Hamilton-Operator erhält man die Eigenwertgleichung – (stationäre) Schrödinger-Gleichung – des harmonischen Oszillators.

$\hat H |\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle$,

in der Ortsdarstellung

$- \frac{\hbar^2}{2 m}\Delta \psi_n(x) + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2\psi_n(x)=E_n\psi_n(x).$

Eigenschaften der Lösungen der Schrödinger-Gleichung

Eigenfunktionen

Orts-Wellenfunktionen eines Teilchens im harmonischen Potential in den Zuständen n=0…7

Zu den Orts-Wellenfunktionen gehörende Aufenthaltswahrscheinlichkeit.

Die Eigenfunktionen $\psi_n(\vec{x})$ des harmonischen Oszillators ergeben sich durch Lösen der obigen Differentialgleichung. Es sind die Hermite-Funktionen

$\psi_n(x)= \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^\frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{2^nn!}} H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right) e^{-\frac{1}{2}\frac{m\omega}{\hbar}x^2}$.

Dabei sind H_n(x) die Hermite-Polynome. Der Term $e^{-\frac{1}{2}\frac{m\omega}{\hbar}x^2}$ beschreibt den exponentiellen Abfall außerhalb des Oszillatorpotentials.

Der Grundzustand n = 0 hat die Form einer Gauß-Kurve

$\psi_0(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^\frac{1}{4} e^{-\frac{1}{2}\frac{m\omega}{\hbar}x^2}$.

Die nebenstehende obere Grafik zeigt die ersten acht Lösungen ψ_n(x). Neben den Wellenfunktionen ist darunter auch deren Betragsquadrat dargestellt, welches die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens im gegebenen harmonischen Potential angibt (jeweils blaue Parabel in den Diagrammen rechts).

Erlaubte Energieniveaus

Die Quantentheorie fordert, dass die physikalisch möglichen Zustände normierbare Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, d. h. im Hilbertraum liegen. Während die Differentialgleichung Lösungen für beliebige Energien hat, ergibt sich aus der Forderung nach Normierbarkeit

$\int\limits_{-\infty}^\infty\;|\psi_n(x)|^2\mathrm{d}x=1$,

dass nur diskrete Energien

$E_n=\hbar\omega\left( n+\frac{1}{2}\right)$

möglich sind, wobei n eine natürliche Zahl oder Null ist.

Nullpunktenergie

siehe Hauptartikel: Nullpunktenergie

Das obige Ergebnis hat fundamentale Folgen: Der harmonische Oszillator kann nicht mehr beliebige Energiemengen aufnehmen, sondern nur ganzzahlige Vielfache von $\hbar\omega$. Der Zustand mit der niedrigsten Energie ist $E_0=\frac{1}{2}\hbar\omega$.

Daraus folgt, dass ein quantenmechanischer harmonischer Oszillator selbst am absoluten Temperaturnullpunkt $T = 0\;\mathrm K$ noch die Energie E₀ besitzt. Im klassischen Fall dagegen ist die Temperatur ein Maß für die Energie pro Freiheitsgrad des Systems. Am absoluten Nullpunkt sollte dementsprechend die Energie gleich null sein. Hier liefert die Quantenmechanik ein offensichtlich im Widerspruch zur klassischen Vorstellung stehendes Ergebnis, welches aber tatsächlich eine korrektere Beschreibung der Natur darstellt. Dies äußert sich auch darin, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für n = 0 eine nicht-verschwindende Breite hat. Das Teilchen ist also nicht exakt bei x = 0 lokalisiert, wie man es von einem klassischen Oszillator erwarten würde. Diesen Sachverhalt nennt man auch Nullpunktsschwingung bzw. Nullpunktenergie.

Man kann diesen Sachverhalt auch mit der heisenbergschen Unschärferelation beschreiben. Im klassischen Fall hat das oszillierende Teilchen die exakte Position x = 0 und den exakten Impuls p = 0. In der Quantenmechanik kann ein Teilchen nicht gleichzeitig einen exakten Ort und einen exakten Impuls besitzen, da die Standardabweichungen der beiden Observablen über die Unschärferelation verknüpft sind. Somit kann der Ort und der Impuls des Teilchens nur bis zu einer gewissen Grenze gleichzeitig angegeben werden. Dies lässt sich als Art räumliche „Verschmierung“ beschreiben, welche eine kinetische Mindestenergie des Teilchens zur Folge hat.

Ableiten lässt sich die Nullpunktenergie aus der Unschärferelation wie folgt: Der Mindestbetrag der Energie wird durch die Unschärfe von Ort und Impuls festgelegt und folgt aus dem Hamiltonian des Oszillators:

$E=\frac{(\Delta p)^2}{2m}+\frac{m \omega^2}{2} (\Delta x)^2$

Mit der Unschärferelation $\Delta x \ge \frac{\hbar}{2 \Delta p}$ folgt eingesetzt als Ausdruck für die Energie:

$E \ge \frac{(\Delta p)^2}{2m}+\frac{m \hbar^2 \omega^2}{8 (\Delta p)^2}$

Die Energie hat ihr Minimum dort wo $\frac{d E}{d (\Delta p)} \equiv 0$ also bei $(\Delta p)^2 = \frac{m}{2} \hbar \omega$

Dies ergibt

$E \ge \frac{1}{2} \hbar \omega$

Alternativer Lösungsweg: Operatormethode

Das Problem des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik lässt sich mithilfe der Methode der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren behandeln. Sie wurde von Paul Dirac, basierend auf Arbeiten von Niels Bohr und Otto Wiener, entwickelt. Dieser Lösungsweg wird auch algebraische Methode genannt.

Für diesen Lösungsweg definiert man zwei Operatoren $\hat a$ und $\hat a^\dagger$, die einem Oszillator jeweils ein Energiequant $\hbar\omega$ entziehen oder hinzufügen. Man nennt sie deswegen Vernichtungs- und Erzeugungsoperator. Andere gebräuchliche Bezeichnungen sind Leiteroperatoren und Aufsteige-/Absteigeoperator. Die Notation $|\psi_n\rangle$ (siehe auch Bra-Ket-Notation) wird hierfür in die einfachere Schreibweise $|n\rangle$ überführt. Ein solcher Zustand heißt Fock-Zustand oder Besetzungszahlzustand, weil er die Anzahl n der Energiequanten im Oszillator angibt. Man definiert diese Operatoren so, dass sie folgende Beziehungen erfüllen:

$\hat a|n\rangle=\sqrt{n}\,|n-1\rangle$ und $\hat a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}\,|n+1\rangle$

Diese Formel macht die Namensgebung sofort plausibel, weil die Anwendung von $\hat a$ von einem höheren Energieniveau $|n\rangle$ in ein niedrigeres Niveau $|n-1\rangle$ führt und für $\hat a^\dagger$ umgekehrt. Aus diesen Operatoren lässt sich noch der sog. Besetzungszahloperator $\hat n=\hat a^\dagger\hat a$ zusammensetzen, der die Anzahl der Energiequanten in einem Zustand (also die Zahl n) liefert:

$\hat n|n\rangle=n|n\rangle$

Nun lässt sich der Hamilton-Operator mit diesen neuen Operatoren umschreiben, zu:

$\hat H=\hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a+\frac{1}{2}\right) =\hbar\omega\left(\hat n+\frac{1}{2}\right)$

Die Operatoren $\hat a$ und $\hat a^\dagger$ lassen sich durch die kanonischen Operatoren $\hat x$ und $\hat p$ darstellen::

• Vernichtungsoperator: $\hat a = \sqrt{\frac{m {\omega}}{2 \hbar}} \left(\hat x+\frac{i \hat p}{m{\omega}}\right)$
• Erzeugungsoperator: $\hat a^{\dagger}= \sqrt{\frac{m {\omega}}{2 \hbar}} \left(\hat x-\frac{i\hat p}{m{\omega}}\right)$

Zur Bestimmung der Eigenfunktionen kann man nun die Schrödingergleichung für den niedrigsten Zustand $|0\rangle$ explizit lösen (dies ist eine sehr einfache Differentialgleichung) und erhält so dessen Ortsdarstellung. Alle weiteren Zustände erhält man dann über die rekursive Anwendung des Erzeugungsoperators auf diesen Grundzustand:

$|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(\hat a^\dagger\right)^n|0\rangle$

Diese Methode ist ein sehr eleganter Weg, den harmonischen Oszillator zu behandeln. Sie hat aber noch wesentlich weitreichendere Anwendungen. Stellt man sich etwa elektromagnetische Strahlung aus Photonen zusammengesetzt vor, so kommt man leicht dazu, für Photonen ebenfalls Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren aufzustellen. Tatsächlich lässt sich sogar zeigen, dass man das elektromagnetische Feld als Ansammlung von harmonischen Oszillatoren beschreiben kann. Dabei steht jeder Oszillator für eine Lichtwelle bestimmter Frequenz ω. Dabei gibt dann n die Anzahl der Photonen in dieser „Mode“ des Lichtfeldes an. Allgemein nennt man ein solches Vorgehen zweite Quantisierung. Eine detaillierte Berechnung der Eigenwerte des (eindimensionalen) Oszillators ist im Artikel Erzeugungs- und Vernichtungsoperator unter bosonische Kletteroperatoren zu finden.

klassischer Grenzfall

Im Grenzfall großer Quantenzahlen n geht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit über. Diese klassische Wahrscheinlichkeitsdichte ist proportional zur inversen Geschwindigkeit 1/v. Je kleiner diese Geschwindigkeit v des klassischen Teilchens im Potential ist, desto länger verweilt es an einem entsprechenden Ort. Die Geschwindigkeit kann man direkt aus dem Energiesatz ableiten. Die folgende Abbildung zeigt die klassische und die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte. Je größer n wird, desto ähnlicher werden sich die Kurven:

Vergleich zwischen der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines QM-Oszillators (Blau) bei n = 70 und der eines klassischen Oszillators (Lila).

Quasiklassische Zustände

Zeitentwicklung eines quasiklassischen Zustandes im harmonischen Potential

Bringt man ein lokalisiertes Wellenpaket in ein harmonisches Potential (siehe Abbildung rechts), so verhält es sich wie ein klassisches Teilchen in diesem Potential (daher quasiklassischer Zustand). Trifft es auf die Potentialränder, so wird es umdrehen und zurücklaufen. Effektiv führt es dann eine Schwingung im Potential aus.

Mathematisch entsprechen diese Zustände den sog. kohärenten Zuständen. Sie werden durch eine komplexe Zahl α charakterisiert und lassen sich als Linearkombination der Zustände $|n\rangle$ darstellen:

$|\alpha\rangle=e^{-{|\alpha|^2\over2}}\sum_{n=0}^{\infty}{\alpha^n\over\sqrt{n!}}|n\rangle$

Wichtig sind solche Zustände bei der Beschreibung von kohärenter Strahlung, da man zeigen kann, dass sich das Lichtfeld in der Quantenfeldtheorie auf harmonische Oszillatoren (einer für jede Mode des Feldes) zurückführen lässt (siehe auch kohärente Strahlung). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Besetzungszahlen kohärenter Zustände folgt (wie die Photonenstatistik von kohärentem Licht) der Poisson-Verteilung:

$P(n)= |\langle n|\alpha \rangle|^2 = \frac{|\alpha|^{2n}}{n!}e^{-|\alpha|^2}$

Ein dem quasiklassichen Zustand ähnlicher Zustand wird erzeugt, wenn man ein zweiatomiges Molekül (z. B. Wasserstoff H₂) mit Hilfe von intensiven Femtosekundenlasern anregt^[2]. Oben wurde bereits erläutert, dass man für die Schwingung zweiatomiger Moleküle den harmonischen Oszillator als Näherung verwenden kann. In der folgenden Abbildung ist das Geschehen gezeigt:

Zunächst wird mit einem Laserpuls eine tiefliegende schmale Wellenfunktion in einen höheren Energiezustand angehoben. Dort bleibt sie weiter lokalisiert und beginnt sich als „quasiklassischer Zustand“ im Potential zu bewegen. Zur Messung wird dann ein zweiter Puls eingestrahlt, der das Molekül ionisiert. Die Position der Wellenfunktion gibt den Abstand der Atome im Molekül an. Aus der kinetischen Energie der Bruchstücke kann auf diesen Abstand und die Form des Wellenpakets geschlossen werden.

Quellen

• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Franck: Quantenmechanik 1/2., 2. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin - New York 1999
• Jun John Sakurai: Modern Quantum Mechanics., Addison Wesley

Links

• Vollständige Lösung des harmonischen Oszillators mit Hilfe der algebraischen Methode (ab Seite 63; PDF-Datei; 4,26 MB)
• Darstellung der direkten Lösung des harmonischen Oszillators in der Ortsdarstellung
• Harmonischer Oszillator, quantenmechanisch

Einzelquellen

1. ↑ M. Planck: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum, Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft 2(1900) Nr. 17, S. 237 - 245, Berlin (vorgetragen am 14. Dezember 1900)
2. ↑ Th. Ergler, A. Rudenko, B. Feuerstein, et.al.: Time-Resolved Imaging and Manipulation of H₂ Fragmentation Intense Laser Fields In: Phys. Rev. Lett. 95, 093001, 2005