Partialbruchentwicklung

In der Mathematik ist die Partialbruchzerlegung ein Verfahren, rationale Funktionen in einer standardisierten Form darzustellen, die ihre weitere Bearbeitung erleichtert.

Ihm liegt die Tatsache zugrunde, dass jede rationale Funktion als Summe von einer Polynomfunktion und Brüchen der Form

$\frac{a}{(x-x_i)^j}$

dargestellt werden kann. Die x_i sind dabei die Polstellen der Funktion.

Werden die Polstellen als bekannt vorausgesetzt, so ist die Bestimmung der Zähler a die eigentliche Aufgabe der Partialbruchzerlegung.

Bei reellwertigen Funktionen müssen die Polstellen x_i und infolgedessen auch die Zahlen a nicht unbedingt reell sein, denn die reellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen. Man kann das Rechnen mit komplexen Zahlen aber vermeiden, weil mit jeder komplexen Nullstelle z_i auch die konjugiert komplexe Zahl $\overline {z_i}$ Nullstelle ist.

Statt $\frac{a_1}{(x-z_i)^j}$ und $\frac{a_2}{(x-\overline{z_i})^j}$ verwendet man dann einen Term $\frac{b+cx}{(x^2+px+q)^j}$, wobei ${x^2+px+q}=(x-z_i)\cdot(x-\overline{z_i})$ eine reelle quadratische Form ist und auch b und c reell sind.

Der Hauptsatz über Partialbruchzerlegung

Reellwertige Funktionen:

Jede rationale Funktion $R:\mathbb R \to \mathbb R$ mit den m verschiedenen reellen Polstellen x_i der Ordnung r_i und den n bis auf Konjugation verschiedenen komplexen Polstellen z_i der Ordnung s_i hat eine eindeutig bestimmte Darstellung

$R(x) = P(x) + \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{r_i} \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j} + \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{s_i} \frac{b_{ij}x+c_{ij}}{(x-z_i)^j(x-\overline{z_i})^j}$

mit einer Polynomfunktion P und reellen Konstanten a_ij, b_ij und c_ij. Diese wird die Partialbruchzerlegung (abgekürzt PBZ) von R genannt.

Die Brüche $\frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}$ heißen Partial- oder Teilbrüche 1. Art, die Brüche $\frac{b_{ij}x+c_{ij}}{(x-z_i)^j(x-\overline{z}_i)^j}$ Partial- oder Teilbrüche 2. Art.

Komplexwertige Funktionen:

Jede rationale Funktion $R:\mathbb C \to \mathbb C$ mit den n verschiedenen Polstellen x_i der Ordnung r_i hat eine eindeutig bestimmte Darstellung

$R(x) = P(x) + \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{r_i} \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}$

mit einer Polynomfunktion P und komplexen Konstanten a_ij.

Dieser Satz lässt sich für Polynome über jedem anderen algebraisch abgeschlossenen Schiefkörper verallgemeinern.

Anwendungen

Die Partialbruchzerlegung wird unter anderem zum Integrieren rationaler Funktionen benutzt. Da die Integrale sämtlicher Partialbrüche bekannt sind, ist die Integration immer möglich, wenn sich die Polstellen der betrachteten Funktion angeben lassen.

Weiters wird die Partialbruchzerlegung bei der Laplace- und der z-Transformation benötigt.

Verfahren

Die Partialbruchzerlegung einer rationalen Funktion R wird in mehreren Schritten bestimmt:

1. Man vergleicht den Grad des Zählers mit dem des Nenners von R:
   • Ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad, so dividiert man den Zähler durch den Nenner. Man erhält daraus das Polynom P und möglicherweise eine rationale Restfunktion $R^*=\frac{Z^*}{N^*}$, sodass gilt: R(x) = P(x) + R ^* (x).
     • Ist $R^*\equiv 0$, ist das Verfahren abgeschlossen.
     • Andernfalls hat der Zähler Z ^* von R ^* einen kleineren Grad als der Nenner N ^* . Man arbeitet dann nur mehr mit der Restfunktion R ^* weiter.
   • Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so kann man die Funktion R direkt betrachten. Um im Folgenden eine einheitliche Bezeichnungsweise zu ermöglichen, setzen wir in diesem Fall R ^* : = R.
2. Anschließend betrachtet man die Nullstellen von N ^* . Abhängig von der Art der Nullstellen wird ein geeigneter Ansatz verwendet.
3. Die Konstanten a_ij, b_ij und c_ij erhält man dann zum Beispiel durch Koeffizientenvergleich nach Multiplikation der Zerlegung mit dem Nennerpolynom.

Die beiden letzten Schritte sollen nun im Detail erläutert werden.

Ansatz

Vorausgesetzt wird hier, dass R ^* in der Form $R^*(x)=\frac{Z^*(x)}{N^*(x)}$ gegeben ist, dass der Grad von Z ^* kleiner ist als der Grad g des Nennerpolynoms N ^* und dass sämtliche Nullstellen von N ^* bekannt sind. Sind, wie oben angenommen, die n verschiedenen Nullstellen x_i und ihr jeweiliger Grad r_i, so kann das Nennerpolynom auf folgende Form gebracht werden:

$N^*(x)=(x-x_1)^{r_1}\cdot(x-x_2)^{r_2}\cdot ... \cdot(x-x_n)^{r_n}$

Zu beachten ist, dass einige der x_i komplex sein können.

Der Ansatz ist nun folgendermaßen aufgebaut:

• Für jede einfache reelle Nullstelle x_i enthält er einen Summanden $\frac{a_{i1}}{x-x_i}$

• Für jede r_i-fache reelle Nullstelle x_i enthält er r_i Summanden $\frac{a_{i1}}{x-x_i}+\frac{a_{i2}}{(x-x_i)^2}+\dots+\frac{a_{ir_i}}{(x-x_i)^{r_i}}$

Zu jeder komplexen Nullstelle z_i gehört notwendigerweise auch die konjugiert komplexe Nullstelle $\overline{z_i}$. Sei x² + p_ix + q_i das quadratische Polynom mit den Nullstellen z_i und $\overline{z_i}$, also $x^2+p_ix+q_i := (x-z_i)(x-\overline{z_i})$.

• Für jede einfache komplexe Nullstelle z_i enthält der Ansatz nun einen Summanden $\frac{b_ix + c_i}{x^2+p_ix+q_i}$

• Entsprechend enthält der Ansatz für jede s_i-fache komplexe Nullstelle z_i (und die zugehörige, ebenfalls s_i-fache, konjugiert komplexe Nullstelle $\overline{z_i}$) die s_i Terme $\frac{b_{i1}x + c_{i1}}{x^2+p_ix+q_i} + \frac{b_{i2}x+c_{i2}}{(x^2+p_ix+q_i)^2} + \ldots + \frac{b_{is_i}x + c_{is_i}}{(x^2+p_ix+q_i)^{s_i}}$

Jeder Ansatz enthält somit genau g unbekannte Koeffizienten $a_{i1}, \dots , a_{ir_i}, b_{i1}, \dots , b_{is_i}, c_{i1}, \dots , c_{is_i}$

Bestimmung der Konstanten

Um die Konstanten a_ij, b_ij und c_ij zu ermitteln, wird R ^* mit dem Ansatz gleichgesetzt und diese Gleichung mit dem Nennerpolynom N ^* multipliziert.

Links steht dann nur noch das Zählerpolynom Z ^* , rechts ein Ausdruck mit allen Unbekannten, der ebenfalls ein Polynom in x ist und entsprechend nach den Potenzen von x geordnet werden kann. Ein Koeffizientenvergleich der linken und rechten Seite ergibt dann ein lineares Gleichungssystem, aus dem sich die unbekannten Konstanten berechnen lassen. Alternativ kann man bis zu g beliebige verschiedene Werte für x in diese Gleichung einsetzen, was wie der Koeffizientenvergleich zu einem aus g Gleichungen bestehenden linearen Gleichungssystem führt.

Diese beiden Möglichkeiten können auch kombiniert werden.

Laurent-Reihenentwicklung

Ist für jede Polstelle eine Laurent-Reihenentwicklung der Funktion bekannt, so erhält man die Partialbruchzerlegung sehr einfach als Summe der Hauptteile dieser Laurent-Reihen. Dieser Weg steht im Zusammenhang mit dem Residuenkalkül.

Beispiele

1. Beispiel

$R(x) = \frac {x} {x^2-1}$.

Es gibt zwei einfache Definitionslücken x₁ = 1 und x₂ = − 1. Der Ansatz lautet also

$\frac{x}{x^2-1} = \frac {a_1} {x-1} + \frac {a_2}{x+1},$

wobei a₁ und a₂ unbekannte, noch zu ermittelnde Konstanten sind. Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit (x² − 1), erhält man

x = a₁(x + 1) + a₂(x − 1).

Sortiert man die rechte Seite nach Gliedern mit x und Gliedern ohne x, so ergibt sich

x = (a₁ + a₂)x + (a₁ − a₂).

Koeffizientenvergleich: Der Koeffizient von x ist Eins: a₁ + a₂ = 1 und das absolute Glied Null: a₁ − a₂ = 0. Hieraus lässt sich berechnen: $a_1 = \frac{1}{2}, \quad a_2= \frac{1}{2}.$ Die gesuchte Partialbruchzerlegung ist also

$\frac {x}{x^2-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x+1}.$

2. Beispiel (doppelte Nullstelle)

$R(x) = \frac {x^2}{x^2-2x+1} = 1 + \frac {2\;x-1}{(x-1)^2}$ (Polynomdivision und Faktorenzerlegung des Nenners.)

x₀ = 1 ist also die einzige, allerdings doppelte Nullstelle des Nenners. Ansatz:

$\frac {2\;x-1}{(x-1)^2} = \frac {a_{11}}{x-1} + \frac {a_{12}}{(x-1)^2} \quad | \cdot (x-1)^2$

$2\;x-1 = a_{11} (x-1) + a_{12}$

$2\;x-1 = a_{11}x-a_{11} + a_{12}$

Koeffizientenvergleich:

a₁₁ = 2
− a₁₁ + a₁₂ = − 1

Lösung:

$a_{11}=2, \quad a_{12}=1$,

also erhalten wir die Partialbruchzerlegung

$\frac {x^2}{x^2-2x+1} = 1 + \frac {2}{x-1} + \frac {1}{(x-1)^2}$.

3. Beispiel (komplexe Nullstelle)

$R(x) = \frac {5x^2+2x+1}{x^3+x}$.

Der Nenner hat hier eine reelle Nullstelle x₁ = 0, eine komplexe Nullstelle x₂ = z₁ = i und deren konjugiert-Komplexe $x_3=\overline{z_1}=-\mathrm{i}$.
Das quadratische Polynom mit den Nullstellen z₁ und $\overline{z_1}$ ist $(x-z_1)(x-\overline{z_1})=(x-\mathrm{i})(x+\mathrm{i})=x^2+1$

Ansatz:

$\frac {5x^2+2x+1}{x^3+x} = \frac {a_1}{x} + \frac {b_1x+c_1}{x^2+1}$

5x² + 2x + 1 = a₁x² + a₁ + b₁x² + c₁x

5x² + 2x + 1 = (a₁ + b₁)x² + c₁x + a₁

Koeffizientenvergleich:

a₁ + b₁ = 5
c₁ = 2
a₁ = 1

Lösung:

$a_1=1, \quad b_1=4, \quad c_1=2$,

Partialbruchzerlegung:

$\frac {5x^2+2x+1}{x^3+x} = \frac {1}{x} + \frac {4x+2}{x^2+1}$.