Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung

Die Partialbruchzerlegung ist eine standardisierte Darstellung rationaler Funktionen. Sie wird in der Mathematik verwendet, um die Rechnung mit solchen Funktionen zu erleichtern. Insbesondere kommt sie bei der Integration der rationalen Funktionen zur Anwendung.

Ihr liegt die Tatsache zugrunde, dass jede rationale Funktion als Summe einer Polynomfunktion und Brüchen der Form

\frac{a}{(x-x_i)^j}

dargestellt werden kann. Die xi sind dabei die Polstellen der Funktion.

Werden die Polstellen als bekannt vorausgesetzt, so ist die Bestimmung der Zähler a die eigentliche Aufgabe der Partialbruchzerlegung.

Bei reellwertigen Funktionen müssen die Polstellen xi und infolgedessen auch die Zahlen a nicht unbedingt reell sein, denn die reellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen. Man kann das Rechnen mit komplexen Zahlen aber vermeiden, weil mit jeder komplexen Nullstelle zi auch die konjugiert komplexe Zahl \overline {z_i} Nullstelle ist.

Statt \frac{a_1}{(x-z_i)^j} und \frac{a_2}{(x-\overline{z_i})^j} verwendet man dann einen Term \frac{b+cx}{(x^2+px+q)^j}, wobei {x^2+px+q}=(x-z_i)\cdot(x-\overline{z_i}) eine reelle quadratische Form ist und auch b und c reell sind.

Inhaltsverzeichnis

Der Hauptsatz über Partialbruchzerlegung

Reellwertige Funktionen

Jede rationale Funktion R:\mathbb R \to \mathbb R mit den m verschiedenen reellen Polstellen xi der Ordnung ri und den n bis auf Konjugation verschiedenen komplexen Polstellen zi der Ordnung si hat eine eindeutig bestimmte Darstellung

R(x) = P(x) + \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{r_i} \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j} + \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{s_i} \frac{b_{ij}x+c_{ij}}{(x-z_i)^j(x-\overline{z_i})^j}

mit einer Polynomfunktion P und reellen Konstanten aij, bij und cij. Diese wird die Partialbruchzerlegung (abgekürzt PBZ) von R genannt.

Die Brüche \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j} heißen Partial- oder Teilbrüche 1. Art, die Brüche \frac{b_{ij}x+c_{ij}}{(x-z_i)^j(x-\overline{z}_i)^j} Partial- oder Teilbrüche 2. Art.

Komplexwertige Funktionen

Jede rationale Funktion R:\mathbb C \to \mathbb C mit den n verschiedenen Polstellen xi der Ordnung ri hat eine eindeutig bestimmte Darstellung

R(x) = P(x) + \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{r_i} \frac{a_{ij}}{(x-x_i)^j}

mit einer Polynomfunktion P und komplexen Konstanten aij.

Dieser Satz lässt sich für Polynome über jedem anderen algebraisch abgeschlossenen Schiefkörper verallgemeinern.

Anwendungen

Die Partialbruchzerlegung wird unter anderem zum Integrieren rationaler Funktionen benutzt. Da die Integrale sämtlicher Partialbrüche bekannt sind, ist die Integration immer möglich, wenn sich die Polstellen der betrachteten Funktion angeben lassen.

Des Weiteren wird die Partialbruchzerlegung bei der Laplace- und der z-Transformation benötigt.

Verfahren

Die Partialbruchzerlegung einer reellen rationalen Funktion R wird in mehreren Schritten bestimmt:

  1. Man vergleicht den Grad des Zählers mit dem des Nenners von R:
    • Ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad, so dividiert man den Zähler durch den Nenner. Man erhält daraus das Polynom P und möglicherweise eine rationale Restfunktion R^*=\frac{Z^*}{N^*}, sodass gilt: R(x) = P(x) + R * (x).
      • Ist R^*\equiv 0, ist das Verfahren abgeschlossen.
      • Andernfalls hat der Zähler Z * von R * einen kleineren Grad als der Nenner N * . Man arbeitet dann nur mehr mit der Restfunktion R * weiter.
    • Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so kann man die Funktion R direkt betrachten. Um im Folgenden eine einheitliche Bezeichnungsweise zu ermöglichen, setzen wir in diesem Fall R * : = R.
  2. Anschließend betrachtet man die Nullstellen von N * . Abhängig von der Art der Nullstellen wird ein geeigneter Ansatz verwendet.
  3. Die Konstanten aij, bij und cij erhält man dann zum Beispiel durch Koeffizientenvergleich nach Multiplikation der Zerlegung mit dem Nennerpolynom.

Die beiden letzten Schritte sollen nun im Detail erläutert werden.

Ansatz

Vorausgesetzt wird hier, dass R * in der Form R^*(x)=\frac{Z^*(x)}{N^*(x)} gegeben ist, wobei der Grad von Z * kleiner als der Grad des Nennerpolynoms N * ist und sämtliche Nullstellen von N * bekannt sind. Sind, wie oben angenommen, die n verschiedenen Nullstellen xi und ihr jeweiliger Grad ri bekannt, so kann das Nennerpolynom auf folgende Form gebracht werden:

N^*(x)=(x-x_1)^{r_1}\cdot(x-x_2)^{r_2}\cdot ... \cdot(x-x_n)^{r_n}

Zu beachten ist, dass einige der xi komplex sein können.

Der Ansatz ist nun folgendermaßen aufgebaut:

  • Für jede einfache reelle Nullstelle xi enthält er einen Summanden \frac{a_{i1}}{x-x_i}
  • Für jede ri-fache reelle Nullstelle xi enthält er ri Summanden \frac{a_{i1}}{x-x_i}+\frac{a_{i2}}{(x-x_i)^2}+\dots+\frac{a_{ir_i}}{(x-x_i)^{r_i}}

Da R reell ist, gehört zu jeder komplexen Nullstelle zi notwendigerweise auch die konjugiert komplexe Nullstelle \overline{z_i}. Sei x2 + pix + qi das quadratische Polynom mit den Nullstellen zi und \overline{z_i}, also x^2+p_ix+q_i := (x-z_i)(x-\overline{z_i}).

  • Für jede einfache komplexe Nullstelle zi enthält der Ansatz nun einen Summanden \frac{b_ix + c_i}{x^2+p_ix+q_i}
  • Entsprechend enthält der Ansatz für jede si-fache komplexe Nullstelle zi (und die zugehörige, ebenfalls si-fache, konjugiert komplexe Nullstelle \overline{z_i}) die si Terme \frac{b_{i1}x + c_{i1}}{x^2+p_ix+q_i} + \frac{b_{i2}x+c_{i2}}{(x^2+p_ix+q_i)^2} + \ldots + \frac{b_{is_i}x + c_{is_i}}{(x^2+p_ix+q_i)^{s_i}}

Jeder Ansatz enthält somit genau g unbekannte Koeffizienten a_{i1}, \dots , a_{ir_i}, b_{i1}, \dots , b_{is_i}, c_{i1}, \dots , c_{is_i}

Bestimmung der Konstanten

Um die Konstanten aij, bij und cij zu ermitteln, wird R * mit dem Ansatz gleichgesetzt und diese Gleichung mit dem Nennerpolynom N * multipliziert.

Links steht dann nur noch das Zählerpolynom Z * , rechts ein Ausdruck mit allen Unbekannten, der ebenfalls ein Polynom in x ist und entsprechend nach den Potenzen von x geordnet werden kann. Ein Koeffizientenvergleich der linken und rechten Seite ergibt dann ein lineares Gleichungssystem, aus dem sich die unbekannten Konstanten berechnen lassen. Alternativ kann man bis zu g beliebige verschiedene Werte für x in diese Gleichung einsetzen, was wie der Koeffizientenvergleich zu einem aus g Gleichungen bestehenden linearen Gleichungssystem führt.

Diese beiden Möglichkeiten können auch kombiniert werden.

Laurent-Reihenentwicklung

Ist für jede Polstelle eine Laurent-Reihenentwicklung der Funktion bekannt, so erhält man die Partialbruchzerlegung sehr einfach als Summe der Hauptteile dieser Laurent-Reihen. Dieser Weg steht im Zusammenhang mit dem Residuenkalkül.

Beispiele

1. Beispiel

 R(x) = \frac {x} {x^2-1} .

Es gibt zwei einfache Definitionslücken x1 = 1 und x2 = − 1. Der Ansatz lautet also

 \frac{x}{x^2-1} = \frac {a_1} {x-1} + \frac {a_2}{x+1},

wobei a1 und a2 unbekannte, noch zu ermittelnde Konstanten sind. Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit (x2 − 1), erhält man

x = a1(x + 1) + a2(x − 1).

Sortiert man die rechte Seite nach Gliedern mit x und Gliedern ohne x, so ergibt sich

x = (a1 + a2)x + (a1a2).

Koeffizientenvergleich: Der Koeffizient von x ist Eins: a1 + a2 = 1 und das absolute Glied Null: a1a2 = 0. Hieraus lässt sich berechnen:  a_1 = \frac{1}{2}, \quad a_2= \frac{1}{2}. Die gesuchte Partialbruchzerlegung ist also

\frac {x}{x^2-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x+1}.
2. Beispiel (doppelte Nullstelle)

R(x) = \frac {x^2}{x^2-2x+1} = 1 + \frac {2\;x-1}{(x-1)^2} (Polynomdivision und Faktorenzerlegung des Nenners.)

x0 = 1 ist also die einzige, allerdings doppelte Nullstelle des Nenners. Ansatz:

\frac  {2\;x-1}{(x-1)^2} = \frac {a_{11}}{x-1} + \frac {a_{12}}{(x-1)^2} \quad | \cdot (x-1)^2
2\;x-1  = a_{11} (x-1) + a_{12}
2\;x-1  = a_{11}x-a_{11} + a_{12}

Koeffizientenvergleich:

a11 = 2
a11 + a12 = − 1

Lösung:

 a_{11}=2, \quad  a_{12}=1,

also erhalten wir die Partialbruchzerlegung

\frac {x^2}{x^2-2x+1} = 1 + \frac {2}{x-1} + \frac {1}{(x-1)^2}.
3. Beispiel (komplexe Nullstelle)

R(x) = \frac {5x^2+2x+1}{x^3+x}.

Der Nenner hat hier eine reelle Nullstelle x1 = 0, eine komplexe Nullstelle x2 = z1 = i und deren konjugiert-Komplexe x_3=\overline{z_1}=-\mathrm{i}.
Das quadratische Polynom mit den Nullstellen z1 und \overline{z_1} ist (x-z_1)(x-\overline{z_1})=(x-\mathrm{i})(x+\mathrm{i})=x^2+1

Ansatz:

\frac {5x^2+2x+1}{x^3+x} = \frac {a_1}{x} + \frac {b_1x+c_1}{x^2+1}
5x2 + 2x + 1 = a1x2 + a1 + b1x2 + c1x
5x2 + 2x + 1 = (a1 + b1)x2 + c1x + a1

Koeffizientenvergleich:

a1 + b1 = 5
c1 = 2
a1 = 1

Lösung:

 a_1=1, \quad  b_1=4, \quad c_1=2,

Partialbruchzerlegung:

\frac {5x^2+2x+1}{x^3+x} = \frac {1}{x} + \frac {4x+2}{x^2+1}.

Literatur

Weblinks


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