Petalkraft

Zentripetalkraft

Die Zentripetalkraft ist diejenige Kraft, die auf einen Körper wirken muss, damit sich dieser auf einer gekrümmten Bahnkurve bewegt.

Ohne diese Kraft würde sich der Körper nach dem Trägheitsgesetz gleichförmig in Richtung des momentanen Geschwindigkeitsvektors (dem Tangentialvektor der Kurve) bewegen. Die Zentripetalkraft zeigt zum Mittelpunkt des Krümmungskreises und steht damit senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor. Bei einer reinen Kreisbewegung zeigt die Zentripetalkraft immer zum Kreismittelpunkt, ist also eine Zentralkraft.

Der Begriff leitet sich von petere (lateinisch für streben nach, sich begeben) ab.

Beispiele

• Wenn ein Auto eine Kurve durchfährt, ist dies nur dadurch möglich, dass eine zur Innenseite der Kurve gerichtete Zentripetalkraft wirkt. Dies ist die Kraft, die durch Haftreibung des Reifens auf dem Asphalt entsteht. Fehlt diese Kraft (z. B. bei Glatteis), so bewegt sich das Auto geradlinig weiter, wird also aus der Kurve getragen. Der Fahrzeuginsasse bewegt sich auf der gleichen Kreisbahn wie das Auto, weil dieses z. B. durch Haftreibung des Sitzes am Gesäß des Insassen eine Zentripetalkraft ausübt.

• Die Erde bewegt sich (annähernd) auf einer Kreisbahn um die Sonne. Diese Kreisbewegung wird durch die von der Sonne auf die Erde ausgeübte Gravitationskraft verursacht, die dabei als Zentripetalkraft dient. Genau genommen ist die Erdbahn wie die Bahnen aller Planeten keine Kreisbahn, sondern eine Ellipsenbahn. Bei der Planetenbewegung zeigt eine Zentralkraft (die Gravitation) auf die Sonne, die sich in einem der Ellipsenbrennpunkte befindet. Diese Zentralkraft weicht jedoch leicht von der Zentripetalkraft ab, die zum Zentrum der lokalen Bahnkrümmung zeigt. Die Differenz zwischen Zentralkraft und Zentripetalkraft ist eine Tangentialkomponente, die dafür sorgt, dass der Planet sich in Sonnennähe (dem Perihel) schneller bewegt als in Sonnenferne.

• Ein Astronaut der sich in einer Raumkapsel auf einer Umlaufbahn bewegt, wird durch die Gravitation als Zentripetalkraft auf der Erdumlaufbahn gehalten. Die Raumkapsel (sein Bezugssystem) erfährt die gleiche Beschleunigung. Aufgrund der Gleichheit von träger und schwerer Masse heben sich für den Astronauten Gravitation und Zentrifugalkraft auf - er fühlt sich schwerelos.

• Bewegen sich Elektronen senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld, so werden sie durch die Lorentzkraft senkrecht zur Richtung der Bewegung und des Magnetfelds in eine Kreisbahn abgelenkt. In diesem Beispiel ist also die Lorentzkraft die Zentripetalkraft.

• Bei Luftwirbeln ist die Zentripetalkraft der Druckgradient, d. h. im Wirbelkern herrscht Unterdruck.

Formeln

Die Zentripetalkraft zeigt bei einer Kreisbewegung zum Kreismittelpunkt. Für einen Körper der Masse m, mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit Radius r ist der Betrag der Zentripetalkraft:

$F_Z=\frac{m \cdot v^2}{r}$

Mit der Winkelgeschwindigkeit ω ergibt sich die Bahngeschwindigkeit als v = ωr und damit:

$\,F_Z=m \omega^2r$

Verwendet man die Vektoren $\vec{r}$ für den Abstand und $\vec{\omega}$ für die Winkelgeschwindigkeit, so kann man die Zentripetalkraft mit dem Vektorprodukt darstellen:

$\vec{F_Z}= m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$

In den Formeln taucht die Masse m als Faktor auf. Wegen der Beziehung "Kraft = Masse · Beschleunigung" kann daraus die Zentripetalbeschleunigung für einen Körper auf einer Kreisbahn bestimmt werden:

$a_Z=\frac{v^2}{r}$

bzw. mit der Winkelgeschwindigkeit ω:

$a_Z=\omega^2 \cdot r$

Eine allgemeinere gültige Definition ist:

$\vec{a_Z} = \vec{\omega} \times ( \vec{\omega} \times \vec{r})$

Oder durch Umformen mit der Jacobi-Identität:

$\vec{a_Z} = \vec{\omega} ( \vec{\omega} \cdot \vec{r} ) - |\vec{\omega} |^2 \vec{r}$

Im allgemeinen Fall einer beliebigen Kurve gilt die gleiche Formel für die Zentripetalbeschleunigung, nur ist für die Krümmung der lokale Krümmungsradius der Kurve einzusetzen und die Beschleunigung ist zum lokalen Krümmungsmittelpunkt der Kurve gerichtet.

Siehe auch

• Zentrifugalkraft

Verweise