Pi (Kreiszahl)

Der griechische Buchstabe Pi

Ein Kreis mit einem Durchmesser von 1 hat einen Umfang von π.

Die Kreiszahl π (Pi) ist eine mathematische Konstante. Die ersten Stellen ihrer Dezimalbruchentwicklung sind:

$\pi = 3{,}14159 \ldots$

Sie beschreibt in der Geometrie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. Die Kreiszahl wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben Pi (π) bezeichnet, dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes περιφέρεια periphereia (Randbereich) bzw. περίμετρος perimetros (Umfang). Die Bezeichnung pi (π) erschien erstmals 1706 in dem Buch Synopsis palmariorum mathesos (zu Deutsch etwa: Eine neue Einführung in die Mathematik) des aus Wales stammenden Gelehrten William Jones (1675–1749). Die Kreiszahl π wird auch Archimedes-Konstante oder ludolphsche Zahl (nach Ludolph van Ceulen) genannt.

Mathematische Grunddaten

Kreis mit eingezeichnetem Mittelpunkt (M), Radius (r) und Durchmesser (d)

Definition

Es existieren mehrere gleichwertige Definitionen für die Kreiszahl π. Gebräuchlich ist etwa die Festlegung als

• das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser oder
• die Fläche eines Kreises mit dem Radius 1.

In der Analysis ist es zweckmäßiger, zunächst den Kosinus über seine Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als

• das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau).

Irrationalität und Transzendenz

Die Zahl π ist eine reelle Zahl, aber keine rationale Zahl. Das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen, also als Bruch geschrieben werden. Dies wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen. Tatsächlich ist die Zahl sogar transzendent. Dies bedeutet, dass es kein Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, dessen Nullstelle π ist. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, π nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Die Transzendenz von π wurde von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Eine Folge davon ist unter anderem, dass die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal allein nicht möglich ist. Häufig liest man die (unzutreffende) Behauptung, damit sei gezeigt, dass die Quadratur des Kreises nicht möglich sei. Es folgt jedoch aus der Galoistheorie, dass mit zusätzlichen Hilfsmitteln (im Gegensatz zu lediglich Zirkel und Lineal) eine Quadratur des Kreises durchaus möglich ist.

Die ersten 100 Nachkommastellen

Da π eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Die ersten 100 dezimalen Nachkommastellen lauten:

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 …

Kettenbruchentwicklung

Eine andere Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da π transzendent ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang.

Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der Kettenbruchdarstellung von π keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden.

Die Genauigkeit von 200 dezimalen Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern:

π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, …]

Sphärische Geometrie

Ptolemäus, Geozentrisches Weltbild

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich ist, sondern von deren Größe abhängig ist. Für Kreise mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (etwa ein Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche), ist diese Abweichung zur normalen euklidischen Geometrie vernachlässigbar klein, für Kreise mit großen Durchmessern muss die Abweichung jedoch berücksichtigt werden.

Geschichte der Zahl π – von Schätzungen zur Rekordjagd

Kaum eine andere Zahl hat die Menschen in ihrer Geschichte mehr beschäftigt und fasziniert als die Kreiszahl π. Schon vor den Griechen suchten die Völker nach dieser geheimnisvollen Zahl, und obschon die Schätzungen immer genauer wurden, gelang es erstmals dem griechischen Mathematiker Archimedes um 250 v. Chr., diese Zahl mathematisch zu bändigen. In der weiteren Geschichte wurden die Versuche zur größtmöglichen Annäherung an π phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen

Aus praktischen Erwägungen heraus versuchten die Menschen schon in sehr früher Zeit, dem Phänomen Kreis näher zu kommen. Sollten Räder beschlagen werden, war es wichtig zu wissen, welchen Umfang der Beschlag haben musste. Sollte eine Säule mit einem Kranz geschmückt werden, war der Umfang des Kranzes zu bestimmen. Sollte ein Fass mit Wein gefüllt werden, interessierten sich unsere Vorfahren für das nötige Volumen. Oder wie in der Bibel im ersten Buch der Könige, Kapitel 7, Vers 23 (siehe auch zweites Buch der Chronik, 4, 2−5) berichtet wird, hat ein geschickter Bronzeschmied aus Tyros die Arbeiten für König Salomo ausgeführt:

„Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und maß 10 Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und 5 Ellen hoch. Eine Schnur von 30 Ellen konnte es rings umspannen.“

Somit lässt sich aus dieser Textstelle ein Verhältnis von Umfang zu Durchmesser mit dem Wert 3 anhand dieses konkreten Beispiels folgern. Dies bedeutet, dass entweder der Umfang zu klein oder der Durchmesser zu groß angegeben ist. Alternative Interpretationen, die einen inneren Umfang von 30 Ellen (also Innendurchmesser von 9,55 Ellen) und einen Außendurchmesser von 10 Ellen in Beziehung setzen, erscheinen gekünstelt, da der innere Umfang ungleich schwieriger als der äußere zu messen ist und eine resultierende Wandstärke von 0,23 Ellen (10 cm) unrealistisch ist. Vermutlich sind die Werte 30 und 10 gerundet, und erlauben daher keine weiteren Interpretationen.

Den Wert 3 nutzte man auch im alten China. Zu beachten ist, dass keinesfalls ein Wert für π angegeben wurde. Die Angaben beziehen sich immer auf konkrete Beispiele und es war nicht unbedingt klar, dass das Verhältnis unabhängig von Umfang und Durchmesser ist.

Genauer waren die Angaben in Ägypten. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind, 17. Jahrhundert v. Chr.), nennt den Wert  $\left( \tfrac{16}{9} \right)^2 \approx 3{,}1604$ . Als Näherung für π benutzten die Babylonier 3 oder auch $3+\tfrac{1}{8}=3{,}125$ . In Indien benutzte man in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert  $\left( \tfrac{26}{15} \right)^2 \approx 3{,}0044$ . für π . Der indische Mathematiker Aryabhata bestimmte im 6. Jahrhundert den Wert der Kreiszahl für damalige Verhältnisse sehr genau auf 3,1416.

Archimedes von Syrakus

Für Archimedes und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von π nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob π also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Lange dachte man, es sei nur die richtige Methode zur Berechnung noch nicht gefunden.

Die Möndchen des Hippokrates aus Chios

Die Summe der Flächen der grauen „Möndchen“ entspricht der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks

Erst 1761/1767 konnte Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von π beweisen, auch wenn die Mathematiker dies schon lange vermutet hatten. Zwar war den griechischen Philosophen seit dem Satz des Pythagoras mit der Irrationalität von $\sqrt2$ die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen.

Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sogar von Kreisteilen eingeschlossen sind, die sich als rationale Zahl darstellen lassen. Bereits vor Archimedes konnte mittels der sogenannten Möndchen, die dem griechischen Mathematiker Hippokrates von Chios (um 450 v. Chr.) zugeschrieben werden, gezeigt werden, dass die Flächen dieser Kreisteile rational ausgedrückt werden können. Mit Hilfe des erweiterten pythagoreischen Lehrsatzes fanden schon die antiken Mathematiker heraus, dass die Summe zweier über den Segmenten der Katheten errichteter Kreisteile identisch mit der Fläche des zugehörigen rechtwinkligen Dreiecks ist.

Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken

Häufig versuchten die Forscher, sich mit Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für π zu gewinnen – so auch Archimedes. Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. bis 212 v. Chr.) war ein antiker griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Er bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius', das jeweilige Verhältnis ergibt also in beiden Fällen die gleiche Größe (die Kreiszahl). Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der für die damalige Zeit äußerst bedeutsamen Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als $3+ \tfrac{10}{70}$  sein müsse, jedoch größer als $3+ \tfrac{10}{71}$ :

Archimedes, Domenico Fetti, 1620

$3{,}1408450 \approx 3\tfrac{10}{71} <\pi< 3\tfrac{10}{70} \approx 3{,}1428571$

Nach Heron besaß Archimedes eine noch genauere Abschätzung, die aber falsch überliefert ist:

$3\tfrac{9552}{67441} < \pi < 3\tfrac{10835}{62351}$

Wilbur Knorr korrigiert zu:

$3\tfrac{8915}{62991} &amp;amp;lt; \pi &amp;amp;lt; 3\tfrac{9552}{67441}$       (3,1415281 < π < 3,1416349)

Die Bezeichnung „π“ für die Kreiszahl stammt nicht von Archimedes, sondern findet sich erstmals 1663 in der Schrift Theorematum in libris Archimedis de Sphaera et Cylindro Declaratio von William Oughtred. Zur üblichen Bezeichnung der Kreiszahl wurde der griechische Buchstabe jedoch erst durch Leonhard Euler, der „π“ ab dem Jahr 1737 benutzte, bis 1735 schrieb Euler noch „p“.

Genauer und genauer – von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin

Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen eine sehr lange Zeit der Stagnation nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Fortschritte in der Annäherung an π erzielten in dieser Zeit vor allem chinesische und persische Wissenschaftler. Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui aus dem 192-Eck die Schranken 3,141024 und 3,142704, später aus dem 3072-Eck den Näherungswert 3,14159. Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chong-Zhi (430–501) für die Kreiszahl 3,1415926 < π < 3,1415927, also im Grunde die ersten 7 Dezimalstellen exakt. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch $\tfrac{355}{113}$ (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von π), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde. Der persische Wissenschaftler Jamshid Masud Al-Kashi berechnete bereits 1427 mit einem $3\cdot2^{28}$-Eck π auf 16 Stellen genau.

John Wallis, 1616–1703

Im 16. Jahrhundert erwachte dann auch in Europa die Mathematik wieder aus ihrem langen Schlaf. 1596 gelang es Ludolph van Ceulen, die ersten 35 Dezimalstellen von π zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, führte Ludolph diese bis zum eingeschriebenen 2⁶²-Eck fort. Der Name ludolphsche Zahl erinnert an seine Leistung.

Der französische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge eingeschriebener 2ⁿ-Ecke annäherte. Daraus leitete er als erster eine geschlossene Formel für π in Form eines unendlichen Produktes ab:

$\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \dots = \frac2{\pi}$

Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt:

$\frac21 \cdot \frac23 \cdot \frac43 \cdot \frac45 \cdot \frac65 \cdot \frac67 \cdot \frac87 \cdot \frac89 \cdot \dots = \frac{\pi}2$.

Wallis zeigte 1655 diese Reihe Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch wie folgt darstellte:

$\frac4{\pi}=1+\frac{1^2}{2+\textstyle \frac{ 3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{\;\,\ddots}}}}}$

Gottfried Wilhelm Leibniz. Porträt von B. Chr. Francke, um 1700

Allmählich wurden die Rechnungen komplizierter, Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots = \frac{\pi}{4}$.

Siehe: Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt, Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist auch ein Spezialfall (θ = 1) der Reihenentwicklung des Arcustangens, die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670ern fand:

$\arctan \theta = \theta - \frac{\theta^3}{3} + \frac{\theta^5}{5} - \frac{\theta^7}{7} + \cdots$.

Sie war Grundlage vieler Approximationen von π in der folgenden Zeit. John Machin berechnete mit seiner Formel von 1706 die ersten 100 Stellen von π. Seine Gleichung

$4\arctan\frac15 - \arctan\frac1{239} = \frac{\pi}4$

lässt sich zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arcustangens-Funktion für schnelle Berechnungen verwenden. Diese Formel lässt sich im reellen nur mühsam über das Arctan-Additionstheorem gewinnen. Direkt geht es durch Betrachtung der Argumente der komplexen Zahlen:

$(5+i)^{4} \cdot (239 - i) = 114244+114244 i$.

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande π bereits auf 148 Stellen genau an.

Leonhard Euler, 1707–1783, Pastell v. Emanuel Handmann, 1753

Von Euler entdeckte Formeln (s. auch riemannsche ζ-Funktion)

$\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots=\zeta(2) = \frac{\pi^2}6,\quad\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90},\quad\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}, \quad...$

$\frac1{1^2}+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\frac1{7^2}+\frac1{9^2}+\cdots= \frac{\pi^2}8$

$\frac{1}{2\cdot3\cdot4} - \frac{1}{4\cdot5\cdot6} + \frac{1}{6\cdot7\cdot8} - \dots = \frac{\pi - 3}{4}$

Johann Heinrich Lambert publizierte 1770 einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

$\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\textstyle \frac{5^2} {11+\textstyle \frac{6^2}{\;\,\ddots}}}}}}$

geschrieben wird. Pro Schritt ergeben sich etwa 0,76555 Dezimalstellen, was im Vergleich mit anderen Kettenbrüchen mit Bildungsgesetz hoch ist, sodass sich dieser Kettenbruch besonders gut zur Berechnung von π eignet.

Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung $\tfrac{22}{7} \approx 3{,}142857$ und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber π beträgt etwa 0,04 %. Für alltägliche praktische Situationen war das völlig ausreichend. Eine andere oft genutzte Näherung war der Bruch $\tfrac{355}{113} \approx 3{,}1415929$ , immerhin auf sieben Stellen genau. Zudem lässt sich dieser Bruch leicht merken, weil die ersten drei ungeraden Ziffern – jeweils doppelt notiert – in der Mitte gespalten werden. Allen diesen rationalen Näherungswerten für π ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von π entsprechen, z. B.:

$\frac{22}{7} = [3;7], \frac{355}{113} = [3;7,15,1]$ 

Keine der bislang entwickelten Formeln konnte zur effizienten Berechnung von Näherungswerten für π dienen, auch die erstaunliche Entdeckung des Inders Srinivasa Ramanujan aus dem Jahr 1914, basierend auf Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen, war dazu noch nicht geeignet:

$\frac{\sqrt{8}}{9801} \cdot\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4 n)! \cdot (1103+26390 n)}{(n!)^{4} \cdot 396^{4 n}} = \frac{1}{\pi}$.

Solche effizienteren Verfahren, deren Implementation allerdings Langzahlarithmetik benötigt, sind Iterationsverfahren mit quadratischer oder noch höherer Konvergenz (siehe: Borwein, Pi and the AGM).

Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung

BBP-Reihen

1996 entdeckte David Bailey, zusammen mit Peter Borwein und Simon Plouffe, eine neuartige Reihendarstellung (BBP-Reihe) für π:

$\pi = \sum_{k=0}^{\infty}\frac1{16^k}\left(\frac4{8k+1} - \frac2{8k+4} - \frac1{8k+5} - \frac1{8k+6}\right)$

Diese Reihe (auch Bailey-Borwein-Plouffe-Formel genannt) erlaubt es auf einfache Weise, die n-te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer 2er-Potenzbasis von π zu berechnen, ohne dass zuvor die n − 1 vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen. Baileys Website [1] enthält eine Herleitung des Verfahrens und auch Implementierungen in verschiedenen Programmiersprachen.

Später wurden für π weitere BBP-Reihen gefunden:

$\pi = \tfrac12\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} + \tfrac4{8k+4} - \tfrac1{8k+7}\right)$

$\pi = \tfrac14\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+1} + \tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} - \tfrac2{8k+5} - \tfrac2{8k+6} - \tfrac1{8k+7}\right) = \sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{(-1)^k}{4^k}\left(\tfrac2{4k+1} + \tfrac2{4k+2} + \tfrac1{4k+3}\right)$

Berechnung mittels Flächenformel

In ein Quadrat eingeschriebener Kreis für die Berechnung mittels Flächenformel

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass π in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius r lautet

A_K = πr²,

der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge 2r errechnet sich als

A_Q = (2r)².

Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also

$\frac{A_K}{A_Q} = \frac{\pi r^2}{(2r)^2} = \frac{\pi}{4}$.

Damit lässt sich π als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben: $\pi=4\,\frac{A_K}{A_Q}$.

Programm

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der π näherungsweise berechnet werden kann.

Viertelkreis, mit Flächenraster 10×10 angenähert

Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von π hängt von der Gitterweite ab und wird mittels r kontrolliert. Mit r = 10 erhält man z. B. 3,17 und mit r = 100 bereits 3,1417. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon r = 10000 zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.

r = 10000
kreistreffer = 0
quadrattreffer = (2 * r + 1) ^ 2
for y = -r to r
  for x = -r to r
    if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
      kreistreffer = kreistreffer + 1
ausgabe 4*kreistreffer / quadrattreffer { 3.14159 }

Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes r marginal.

Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben, als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Statistische Bestimmung

Viertelkreis, dessen Fläche durch die Monte-Carlo-Methode angenähert wird.

Eine sehr interessante Methode zur Bestimmung von π ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines eingeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist gleich $\tfrac{\pi}{4}$.

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von π lässt sich daher nur mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Der folgende Algorithmus ist in der Programmiersprache Java geschrieben:

public static double berechne_pi(int tropfenzahl) {
  double pi = 0;
  int innerhalb = 0;
  int gesamt = tropfenzahl;
 
  while (tropfenzahl > 0) { // generiere Tropfen und addiere je nach Zugehörigkeit
    double dotx = Math.random();
    double doty = Math.random();
 
    if (dotx*dotx + doty*doty <= 1) {
      // Punkt liegt innerhalb des Kreises
      innerhalb++;
    } else {
      // Punkt liegt außerhalb des Kreises
    }
 
    tropfenzahl--;
  }
 
  pi = 4*(double)innerhalb/gesamt;
  return pi;
}

Buffonsches Nadelproblem

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode stammt von Georges-Louis Leclerc de Buffon (1707–1788), der sie im Alter von 20 Jahren erfand. Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow I. Perelman im Buch Unterhaltsame Geometrie. Man nehme eine kurze, ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer gewissen Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt dabei als Schnittpunkt. Die Division der Gesamtzahl der Nadelwürfe durch die Zahl der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, ergibt im Ergebnis eine Näherung von π. Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend mehrfach gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Johann Rudolf Wolf durch 5000 Nadelwürfe auf einen Wert von $\pi \approx 3{,}159$.

Näherungskonstruktion

Zur geometrischen Konstruktion der Zahl π gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann. Dies ist also eine Näherungskonstruktion für die (exakt nicht mögliche) Quadratur des Kreises.

Formeln, Anwendungen, offene Fragen

Formeln, die π enthalten

Formeln der Geometrie

In der Geometrie treten die Eigenschaften von π als Kreiszahl unmittelbar hervor.

• Umfang eines Kreises mit Radius r: U = 2πr
• Fläche eines Kreises mit Radius r: A = πr²
• Volumen einer Kugel mit Radius r: $V = \tfrac43\pi r^3$
• Oberfläche einer Kugel mit Radius r: A_O = 4πr²
• Volumen eines Zylinders mit Radius r und Höhe a: V = r²πa
• Volumen eines durch die Rotation des Graphen y = f(x) um die x-Achse definierten Drehkörpers mit den Grenzen a und b: $V = \pi \int_a^b f(x)^2 \mathrm{d}x$
• Minkowski-Schranke der Geometrie der Zahlen: $\frac{n!}{n^n}\left(\frac{4}{\pi}\right)^{r_2}\sqrt{|\mathrm{disc}\,K|}$

Formeln der Analysis

Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768–1830

π spielt daneben in vielen mathematischen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei

• unendlichen Reihen: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ (Euler, s. auch riemannsche ζ-Funktion)
• der gaußschen Glockenkurve: $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \mathrm{d}x = \sqrt\pi$
• der Stirling-Formel als Näherung der Fakultät für große n: $n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$
• der Fourier-Transformation: $\mathcal{F}f(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i \omega t} \,\mathrm{d} t$
• der eulerschen Identität: e^iπ + 1 = 0

Die eulersche Identität als Kombination der Kreiszahl π, der ebenfalls transzendenten eulerschen Zahl e, der imaginären Einheit i und der beiden grundlegenden Zahlen 0 und 1 wird als eine der „schönsten mathematischen Formeln“ angesehen.

Formeln der Zahlentheorie

• Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die kleiner einer Schranke M sind, teilerfremd sind, strebt mit $M \rightarrow \infty$ gegen $\frac{6}{\pi^2}$.

Formeln der Physik

In der Physik spielt π neben

• der Kreisbewegung: ω = 2πf (Winkelgeschwindigkeit gleich 2π mal Umlauffrequenz)

vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort π über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht. Somit also zum Beispiel

• in der Quantenmechanik: $\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4 \pi}$ (heisenbergsche Unschärferelation).
• in der Berechnung der Knicklast: $F_K=\frac{\pi^2EI}{s^2}$

Anwendungen, Nutzen heutiger Berechnungen

Die Näherungswerte und -verfahren zur Kreiszahl waren lange Zeit insbesondere für die angewandten Wissenschaften wie etwa im Ingenieurbau sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits so viele Stellen, dass ein praktischer Nutzen kaum noch gegeben ist.

Es genügen beispielsweise zur Berechnung des Kreisumfangs auf einen Millimeter Genauigkeit

• bei einem Radius von 30 Metern: vier Dezimalstellen von π,
• beim Erdradius: zehn Dezimalstellen,
• bei einem Radius mit dem Abstand Erde-Sonne: 15 Dezimalstellen.

Wie viele Stellen sind wohl erforderlich, um den größten in unserem Universum vorstellbaren realen Kreis mit der größten vorstellbaren Genauigkeit zu berechnen? Das Licht des Urknalls in Form der Mikrowellen-Hintergrundstrahlung erreicht uns aus einer Entfernung, die sich als das Produkt des Weltalters (etwa 1,3·10¹⁰ a) mit der Lichtgeschwindigkeit (etwa 300.000 km·s^-1 oder 9,46·10¹⁵ m·a^-1) ergibt, also rund 1,3·10²⁶ m. Der Kreis mit diesem Radius hat also einen Umfang von etwa 8,17·10²⁶ m. Die kleinste physikalisch sinnvolle Längeneinheit ist die Planck-Länge von etwa 10^-35 m. Der Kreis besteht also aus 8,17·10⁶¹ Planck-Längen. Um ihn aus dem gegebenen Radius (vorausgesetzt, dieser wäre auf eine Planck-Länge genau bekannt) mit der Genauigkeit von einer Planck-Länge zu berechnen, würden also schon 62 Dezimalstellen von π ausreichen.

Der derzeitige Rekord an numerischen Berechnungen liegt bei 1,241 Billionen Dezimalstellen. Ein praktischer Nutzen dieser Rechnungen liegt in der Möglichkeit, die Computer-Hardware und -Software zu testen, da bereits kleine Rechenfehler zu vielen falschen Stellen von π führen.

Offene Fragen

Die zurzeit drängendste mathematische Frage bezüglich π ist, ob sie eine normale Zahl ist, d. h. ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-ären) Zahlendarstellung jede mögliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie dies die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde.

In letzter Konsequenz würde dies beispielsweise bedeuten, dass die Kreiszahl alle bisher und zukünftig geschriebenen Bücher irgendwo in codierter Binär-Form enthalten muss. Siehe auch das Infinite Monkey Theorem.

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000, dass die Existenz der oben angegebenen Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Ableitungen belegt, dass die Normalität von π zur Basis 2 (wie auch die von verschiedenen anderen Konstanten) auf eine bestehende Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann. Für weitere Details dazu siehe die Webseite von Bailey.^[1]

Physiker der Purdue Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von π auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl π entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl π tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als π ab.

Sonstiges

Rekorde und Kuriositäten

Pi-Bodenmosaik am Eingang des Mathematikgebäudes der TU-Berlin

• Der derzeitige Rekord der Berechnung von π wird von Yasumasa Kanada auf einem HITACHI-Supercomputer mit 1.241.100.000.000 (gut 1,2 Billionen) Stellen gehalten. An der 1.142.905.318.634ten Nachkommastelle von π findet man laut Yasumasa Kanada wieder die Folge 314159265358.
• Freunde der Zahl π gedenken zum einen am 14. März der Kreiszahl mit dem Pi-Tag wegen der amerikanischen Datumsnotation 3/14. Zum anderen wird ein π-Näherungstag am 22. Juli gefeiert, mit dem die Näherung 22/7 von Archimedes geehrt werden soll.
• Aus Sternstunden der modernen Mathematik von Keith Devlin: Ein weiteres Beispiel, in dem π überraschend eine Rolle spielt, ist das folgende: Wenn man ein Streichholz auf ein Brett wirft, das durch parallele, jeweils eine Streichholzlänge voneinander entfernte Linien unterteilt ist, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Streichholz so fällt, dass es eine Linie schneidet, genau 2 / π. Dabei handelt es sich um eine Variante des weiter oben beschriebenen Nadelwurfversuchs.
• Im Jahre 1897 wurden im US-Bundesstaat Indiana mit dem Indiana-Pi-Bill-Gesetzentwurf („for an act introducing a new mathematical truth“) für die Zahl π per Gesetz 4 bzw. 3,2 vorgeschlagen. Der Hobbymathematiker Edwin J. Goodwin war sicher, die Quadratur des Kreises gefunden zu haben. Er schlug der Regierung den Handel vor, auf alle Tantiemen aus der Anwendung seiner Entdeckung in der mathematischen Aus- und Weiterbildung zu verzichten, wenn seine Entdeckung zum Gesetz erhoben würde. Erst nach der Aufklärung durch einen „gestandenen“ Mathematiker, der von dem Gesetzesvorhaben zufällig in der Zeitung las, vertagte die zweite Kammer des Parlaments den vom Repräsentantenhaus (Landtag) bereits einstimmig beschlossenen Entwurf auf unbestimmte Zeit. Das Guinness-Buch der Rekorde kennt diese Geschichte etwas anders: Der ungenaueste Wert von π. Im Jahre 1897 verabschiedete die Generalversammlung von Indiana ein Gesetz (Bill Nr. 246), nach dem der Wert von π de jure vier ist.
• 1853 publizierte William Shanks seine Berechnung der ersten 707 Dezimalstellen von π, alle per Hand berechnet. 92 Jahre später, im Jahre 1945, wurde entdeckt, dass die letzten 180 Stellen falsch waren. (Siehe auch die Tabelle unten, die etwas andere Jahreszahlen angibt.)
• Die Versionsnummer des Textsatzprogramms TeX von Donald Knuth wird entgegen den üblichen Konventionen der Software-Entwicklung seit den 1990ern so inkrementiert, dass sie sich langsam π annähert. Die aktuelle Version aus dem Jahr 2008 trägt die Nummer 3.1415926
• Wissenschaftler senden mit Radioteleskopen die Kreiszahl ins Weltall. Sie sind der Meinung, dass andere Zivilisationen diese Zahl kennen müssen, wenn sie das Signal auffangen können.
• Der aktuelle Rekord im Pi-Vorlesen liegt bei 108.000 Nachkommastellen in 30 Stunden. Der Weltrekordversuch begann am 3. Juni 2005 um 18:00 Uhr und wurde am 5. Juni 2005 pünktlich um 0:00 Uhr erfolgreich beendet. Über 360 freiwillige Leser lasen jeweils 300 Nachkommastellen. Organisiert wurde der Weltrekord vom Mathematikum in Gießen.
• Wenn eine kreisförmige Schnur – zum Beispiel entlang des Erdäquators oder um einen Ball oder eine Erbse herum – um einen Meter verlängert wird, ergibt sich völlig unabhängig von der Länge der Schnur immer eine Vergrößerung des Radius um 1 / 2π Meter (ungefähr 16 Zentimeter), wenn die Schnur anschließend wieder kreisförmig gemacht wird.

Film, Musik, Kultur und Literatur

• 1981 wurde Carl Sagans Buch Contact veröffentlicht. Das Buch beschreibt das SETI-Programm zur Suche nach außerirdischer Intelligenz und damit verbundene philosophische Betrachtungen. Es endet mit der fiktiven Beantwortung der Frage, ob das Universum zufällig entstanden ist oder planvoll geschaffen wurde. Die Zahl π spielt für die spannende und im Rahmen der Handlung folgerichtige Antwort die zentrale Rolle.
• 1998 veröffentlichte Darren Aronofsky (Requiem for a Dream) den Film „Pi“, in dem ein mathematisches Genie (Sean Gullette als „Maximilian Cohen“) die Weltformel aus π herausfiltern möchte.
• Auf dem 2005 erschienenen Doppelalbum Aerial von Kate Bush ist ein Lied der Zahl Pi gewidmet.
• Die im November 2006 eröffnete Medieninstallation Pi in der Wiener Opernpassage widmet sich unter anderem der Kreiszahl.

Pi-Sport

→ Hauptartikel: Pi-Sport

Aus dem Lernen von Pi ist ein Sport geworden. Das Memorieren der Zahl Pi gilt als beste Möglichkeit, das Merken langer Zahlen unter Beweis zu stellen. Der Chinese Chao Lu ist offizieller Weltrekordhalter mit bestätigten 67.890 Nachkommastellen, welche er am 20. November 2005 fehlerfrei in einer Zeit von 24 Stunden und 4 Minuten aufsagte. Er wird sowohl vom Guinness Book of Records als auch von der Pi World Ranking List als Rekordhalter geführt. Der inoffizielle Weltrekord im Memorieren von Pi liegt inzwischen (Stand 10/06) bei 100.000 Stellen, aufgestellt von Akira Haraguchi. Der Japaner brach damit seinen ebenfalls noch inoffiziellen alten Rekord von 83.431 Nachkommastellen. Den deutschen Rekord hält Jan Harms mit 9.140 Stellen. Für das Memorieren von Pi werden spezielle Mnemotechniken angewandt. Die Technik unterscheidet sich dabei nach Geschmack des Gedächtniskünstlers, seinen Begabungen und der Menge der zu memorierenden Nachkommastellen.

Für das Merken der ersten Ziffern von Pi gibt es einfache Merksysteme.

Siehe hierfür: Einfache Merkregeln

Entwicklung der Nachkommastellen von π

Mathematiker	Jahr	Dezimalstellen	Methode
Ägypten, Rechenbuch des Ahmes (Papyrus Rhind)	ca. 19. Jahrhundert v. Chr.	1	nur beispielhaft
Archimedes	ca. 250 v. Chr.	2	96-Eck
Liu Hui	nach 263	5	3072-Eck
Zu Chong-Zhi	ca. 480	6
Jamshid Masud Al-Kashi	ca. 1427	15	$3\cdot2^{28}$-Eck
Ludolph van Ceulen	1596	20
Ludolph van Ceulen	1610	35	262-Eck
Jurij Vega	1794	126
William Shanks	1874	527
Levi B. Smith, John W. Wrench	1949	1.120
Daniel Shanks, John W. Wrench	1961	100.265
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura	1982	16.777.206
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo	1987	134.217.700
Chudnovskys	1989	1.011.196.691
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1997	51.539.600.000
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1999	206.158.430.000
Yasumasa Kanada	2002	1.241.100.000.000

Siehe auch: Wurzel 2

Einzelnachweise

1. ↑ Webseite von Bailey

Literatur

• Jörg Arndt, Christoph Haenel: Pi – Algorithmen, Computer, Arithmetik. Springer, Berlin 1998, 2000 (mit CD-ROM). ISBN 3-540-66258-8
• David Blatner: Pi, Magie einer Zahl. Rowohlt, Reinbek 2001. ISBN 3-499-61176-7
• Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. Wiley Interscience, New York 1998. ISBN 0-471-31515-X
• Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. Rowohlt, Reinbek 1974, 1982. ISBN 3-499-16692-5
• Jean-Paul Delahaye: π – Die Story. Birkhäuser, Basel 1999. ISBN 3-7643-6056-9
• Keith Devlin: Sternstunden der modernen Mathematik. DTV, München 1992. ISBN 3-423-33016-3
• Heinz-Dieter Ebbinghaus et. al.: Zahlen. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-54055-654-0.
• Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für jedermann. (8., völlig neu überarb. Aufl.). Ullstein, Berlin 1965.
• Jakow I. Perelman: Unterhaltsame Geometrie. Volk und Wissen, Berlin 1962.
• Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C. H. Beck, München 1990. ISBN 3-406-02535-8

Weblinks

• Werner Scholz: Die Geschichte der Approximationen der Zahl TU Wien, 3. November 2001
• Geschichte der Zahl π (englisch)
• Namensgebung „π“ für die Kreiszahl
• Archimedes und die Ermittlung der Kreiszahl
• The π-Search Page – Ziffernfolgen innerhalb von π suchen (200 Mio. Stellen, sehr schnell)
• Webseite Yasumasa Kanadas – (englisch, 200 Millionen Stellen sind auf einem FTP-Server verfügbar und ein Programm mit dem bis zu 32 Millionen Stellen berechnet werden können (multi-platform))
• Pibel.de – Auf dieser Website steht die Zahl Pi auf bis zu 10 Millionen Kommastellen zum Download bereit
• Weltrangliste der π-Auswendiglerner (englisch)
• Nährungsweise Berechnung von π mit Monte-Carlo-Methode (Applet)
• Berechnung nach Gottfried Wilhelm Leibniz mit Programmierbeispiel