Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi

Die Produktformel von Vieta von 1593^[1] ist eine der ersten historisch nachgewiesenen^{[2] [3]} analytischen Darstellungen für die Kreiszahl π. Sie ist ein unendliches Produkt mit geschachtelten Wurzeln.

Darstellungen von π

Formel von Vieta

Mit der durch

$\begin{align} a_1 &:= \frac 1 2 \sqrt{2} \\ a_{n} &:= \frac 1 2 \sqrt{ 2+2a_{n-1} } \qquad n\ge 2 \end{align}$

rekursiv definierten Zahlenfolge a_n gilt:

$\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n a_i=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots =\frac2\pi.$

Ausgeschrieben mit den ersten Faktoren lautet das unendliche Produkt also:

$\frac2\pi = \left( \frac12 \sqrt 2 \right) \cdot \left(\frac12 \sqrt{2+\sqrt{2}} \right) \cdot \left(\frac12 \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}} \right) \cdots$

Beziehung zur Darstellung nach Euler

Die Produktformel von Vieta ergibt sich als Spezialfall aus folgendem Resultat von Euler (s. Beweis unten) durch Einsetzen von $x=\tfrac \pi 2$:

$\begin{align} \frac{\sin(x)}x &= \lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n \cos\left( \frac x{2^i} \right) = \cos\left(\frac{x}2\right)\cdot\cos\left(\frac{x}4\right) \cdot\cos\left(\frac{x}8\right)\cdots \\ \frac 2 \pi &= \lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n \cos \left( \frac \pi{2^{i+1}} \right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} \right)\cdot\cos\left(\frac \pi 8 \right) \cdot\cos\left(\frac{\pi}{16} \right)\cdots \end{align}$

Insbesondere resultiert hieraus folgende alternative, direkte Darstellung für die Glieder der Zahlenfolge a_n (s.o.):

$a_{n} = \cos \left(\frac{\pi}{2^{n+1}} \right) \qquad\qquad\mathrm{f\ddot ur}\; n\ge 1$

Produktfreie Darstellung

Die folgende Darstellung ist äquivalent zur Produktformel von Vieta und hat eine einfache geometrische Interpretation (vgl. zum Beispiel ^[4]). Mit der rekursiv definierten Folge r_n

$\begin{align} r_0 &:= 0 \\ r_n &:= \sqrt{2+r_{n-1}} \qquad\qquad\mathrm{f\ddot ur}\; n\ge 1 \end{align}$

sowie darauf aufbauend den Folgen s_n und u_n

$s_n = \sqrt{2-r_{n-1}}$

$u_n = 2^n \; s_n = 2^n \; \sqrt{2-r_{n-1}}$

gilt:

$\lim_{n\to\infty} u_n = \lim_{n\to\infty}2^{n}\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}_{(n-1)-\mathrm{fache}\;\; \mathrm{Schachtelung}} } = \pi$

Die ersten Glieder der Folge u_n lauten:

$\begin{align} u_1 &= 2 \cdot \sqrt{2} \\ u_2 &= 4 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}} \\ u_3 &= 8 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \end{align}$

$\vdots \qquad \qquad \vdots \qquad \qquad \vdots$

Die Folgenglieder s_n sind jeweils gerade die Seitenlänge und die Folgenglieder u_n entsprechend der halbe Umfang des regelmäßigen 2^{n + 1}-Ecks. Wegen $\lim_{n\to\infty} r_n = 2$ und der damit verbundenen numerischen Auslöschung in s_n ist die Darstellung von π durch die Folge u_n zur numerischen Berechnung nicht geeignet.

Beweise

Analytischer Beweis

Der im folgenden skizzierte Beweis basiert auf Additionstheoremen aus der Trigonometrie und einer elementaren Grenzwertbetrachtung. Einen ausführlichen Beweis findet man etwa auf Wikibooks. Aus

$\begin{align} 2^n \cdot \sin \left( \frac x {2^n} \right) &= x \cdot \left( \frac{ \sin \left( \frac x{2^n} \right) }{ \frac x{2^n} }\right) \end{align}$

folgt einerseits durch Verwenden des bekannten Grenzwertes $\lim_{x\to 0} \tfrac{\sin x}{x} = 1$

$\begin{align} \lim_{n\to\infty} 2^n \cdot \sin \left(\frac x {2^n} \right) &= x. \end{align}$

Andererseits erhält man durch iteratives Anwenden der Verdopplungsformel für den Sinus:

$\sin x = 2 \cdot \sin \left( \frac x2 \right) \cos \left( \frac x2 \right) = \ldots = 2^n \cdot \sin \left( \frac x{2^n} \right) \cdot \prod_{i=1}^n \cos \left( \frac x{2^i} \right)$

Zusammenfassen dieser beiden Aussagen führt dann auf die Darstellung von Euler:

$\begin{align} \frac {\sin x}x &= \lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n \cos \left( \frac x{2^i} \right) \end{align}$

Also speziell für $x = \tfrac \pi 2$:

$\begin{align} \frac 2 \pi &= \lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n \cos \left( \frac \pi{2^{i+1}} \right) \end{align}$

Induktiv lässt sich nun leicht zeigen, dass die Kosinus-Terme mit den Gliedern der rekursiv definierten Folge a_n übereinstimmen:

Für n = 1 folgt die Gleichheit unmittelbar aus dem bekannten speziellen Wert des Kosinus $\cos(\tfrac \pi 4) = \tfrac 1 2 \sqrt 2$ und für n > 1 (Induktionsschritt) verwendet man die Halbierungsformel für den Kosinus.

Historische Argumentation nach Vieta

Der obige analytische Beweis für Vietas Produktformel beruht auf der Darstellung für $\tfrac {\sin x}x$, einem Resultat, das Euler erst über 100 Jahre später kannte und welches Vieta noch nicht zur Verfügung stand. Seine Argumentation ist geometrischer Natur und ist eine Variation des Exhaustionsverfahren zur Berechnung des Kreisfläche, welches auf Archimedes zurückgeht. Ausgehend von einem Quadrat (n = 2) verwendet Vieta eine Folge von regelmäßigen 2ⁿ − Ecken, die dem Einheitskreis einbeschrieben sind und sukzessive den Flächeninhalt approximieren. Die bei der Verdopplung benötigten Längen und Verhältnisse erhält Vieta durch elementare geometrische Überlegungen (zum Beispiel mittels des Satzes von Pythagoras).

Beweis für die produktfreie Darstellung

Durch Kehrwertbildung und Multiplikation mit 2 folgt aus der Vietaschen Produktformel unmittelbar folgende Produktformel für π:

$\pi = \lim_{n\to\infty} 2 \cdot \prod_{i=1}^n \frac 1{a_i}$

Die Behauptung für die produktfreie Darstellung ist offensichtlich wahr, wenn für die Zahlenfolge u_n

$u_n = 2 \cdot \prod_{i=1}^n \frac 1{a_i}$

gilt. Dies lässt sich durch vollständige Induktion leicht zeigen (hierbei gehen lediglich die Definitionen der Folgen a_n, r_n, s_n und u_n ein, vgl. ^[5]).

Einen vollständig ausgeführten Beweis findet man zum Beispiel im Beweisarchiv, siehe Weblinks.

Literatur

• P. Beckmann: A History of Pi, St. Martin's Press, New York, New York, 1971, ISBN 978-0312381851
• L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein:L Pi: A source book, Second Edition, Springer Verlag, New York, 2000, ISBN 978-0387949246
• Aaron Levin: A New Class of Infinite Products Generalizing Viète's Product Formula for π, The Ramanujan Journal, Volume 10, Number 3, December 2005 , pp. 305–324(20), doi:10.1007/s11139-005-4852-z
• T. J. Osler: The united Vieta's and Wallis's products for π, American Mathematical Monthly, 106 (1999), pp. 774–776.
• T. J. Osler und M. Wilhelm: Variations on Vieta's and Wallis's products for pi, Mathematics and Computer Education, 35(2001), pp. 225–232.
• Heinrich Quillmann: Exercises using the Pythagorean Theorem for calculating π. (Übungen mit dem Satz des Pythagoras zur Ermittlung der Kreiszahl.) (German), PM Prax. Math. Sch. 45, No. 6, 285 (2003).
• Franciscus Vieta: Variorum de Rebus Mathematics Reponsorum Liber VII, (1593) in: Francisci Vietae Opera Mathematica, (reprinted) Georg Olms Verlag, Hildesheim, New York, 1970, pp. 398–400 and 436–446. (Online-Version des Gesamtwerkes Francisci Vietae Opera Mathematica erhältlich auf der Website der Bibliotheque nationale de France digital library)

Weblinks

 Wikibooks: Beweis der Produktformel von Vieta und verwandter Aussagen – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

1. ↑ siehe Originalarbeit Franciscus Vieta, Variorum de Rebus Mathematics Reponsorum Liber VII, (1593) in: Francisci Vietae Opera Mathematica, (reprinted) Georg Olms Verlag, Hildesheim, New York, 1970, pp. 398–400 and 436–446. (Online-Version des Gesamtwerkes Francisci Vietae Opera Mathematica erhältlich auf der Website der Bibliotheque nationale de France digital library)
2. ↑ siehe dazu zum Beispiel P. Beckmann, A History of Pi, St. Martin's Press, New York, New York, 1971, ISBN 978-0312381851
3. ↑ L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, Pi: A source book, Second Edition, Springer Verlag, New York, 2000, ISBN 978-0387949246
4. ↑ Heinrich Quillmann: Exercises using the Pythagorean Theorem for calculating π. (Übungen mit dem Satz des Pythagoras zur Ermittlung der Kreiszahl.) (German), PM Prax. Math. Sch. 45, No. 6, 285 (2003)
5. ↑ Heinrich Quillmann: Exercises using the Pythagorean Theorem for calculating π. (Übungen mit dem Satz des Pythagoras zur Ermittlung der Kreiszahl.) (German), PM Prax. Math. Sch. 45, No. 6, 285 (2003)