Poincaré-Hopf-Theorem

Das Poincaré–Hopf Theorem ist ein wichtiger mathematischer Satz der Differentialtopologie. Es ist auch als Poincaré-Hopf Index-Formel, Poincaré-Hopf Index-Theorem oder Hopf Index-Theorem bekannt. Der Satz ist nach Henri Poincaré und Heinz Hopf benannt.

Seine Aussage ist die folgende:

Sei M eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei v ein Vektorfeld auf M, das nur isolierte Nullstellen besitzt, dann gilt die Formel

$\sum_{i}^{} \mathrm{index}_{\mathbf{v}}(x_i)=\chi(M)$,

d.h. die Summe über die Indizes aller isolierten Nullstellen von v ist gleich der Euler-Charakteristik von M. Hat M einen Rand, so muss als Voraussetzung gelten, dass v auf dem Rand in Richtung der äußeren Normalen zeigt.

Der Satz wurde für zwei Dimensionen von Poincaré bewiesen und später von Hopf für höhere Dimensionen verallgemeinert. Oft wird der Spezialfall „Satz vom Igel“ als Illustration des Theorems benutzt.