- Poincaré-Lemma
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Das Poincaré-Lemma ist ein Satz aus der Mathematik und wurde nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré benannt.
Inhaltsverzeichnis
Exakte und geschlossene Differentialformen
- Eine Differentialform ω vom Grad k heißt geschlossen, falls dω = 0 gilt. Dabei bezeichnet d die äußere Ableitung.
- Außerdem heißt eine Differentialform ω vom Grad k exakt, falls es eine (k − 1)-Differentialform ν gibt, so dass ω = dν gilt. Die Form ν nennt man die Potentialform von ω.
Aussage
Es besagt, dass in jeder sternförmigen offenen Menge U einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die k-te de-Rham-Kohomologie für alle k > 0 verschwindet, also:
Anders ausgedrückt: In jeder sternförmigen offenen Menge ist jede geschlossene Differentialform exakt.
Der einfachste Spezialfall besagt, dass ein auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet definiertes wirbelfreies Vektorfeld - beispielsweise das elektrostatische Feld
- als Gradient eines Potentialfeldes
dargestellt werden kann. Der nächsteinfache Spezialfall ist, dass ein quellenfreies Vektorfeld - beispielsweise die magnetische Induktion
- durch Rotation eines Vektorpotentials
erzeugt werden kann.
Bemerkung
Das Poincaré-Lemma gibt auch eine solche (k − 1)-Form explizit an, und zwar mit folgender Formel: Für beliebige k-Formen,
lässt sich eine zugehörige „Potentialform“ ηk − 1 durch folgende (k-1)-Form-wertige Abbildung definieren:
, mit
Nun zeigt man direkt, dass :
Wegen der Voraussetzung
ist das bereits die gesuchte Aussage, mit
Das so definierte ηk − 1 ist nicht die einzige (k − 1)-Form, deren äußeres Differential ωk ist. Alle anderen unterscheiden sich aber höchstens um das Differential einer (k − 2)-Form voneinander: Sind
und
zwei solche (k − 1)-Formen, so existiert eine (k − 2)-Form ξk − 2 derart, dass
gilt (siehe Eichinvarianz).
In der Sprache der homologischen Algebra ist P eine kontrahierende Homotopie.
Anwendung in der Elektrodynamik
Aus der Elektrodynamik ist der Fall eines von einem stationären Strom erzeugten Magnetfeldes bekannt, mit dem sog. Vektorpotential
Dieser Fall entspricht k=2, wobei das sternförmige Gebiet der
ist. Der Vektor der Stromdichte ist
und entspricht der Stromform
Für das Magnetfeld
gilt analoges: es entspricht der Magnetflussform
und lässt sich aus dem Vektorpotential ableiten,
, oder
. Dabei entspricht das Vektorpotential
der Potentialform
Die Geschlossenheit der Magnetflussform entspricht der Quellenfreiheit des Magnetfeldes (
In einer speziellen Eichung,
, gilt dann für i=1,2,3
dabei ist μ0 eine Naturkonstante, die sogenannte Magnetische Feldkonstante.
An dieser Gleichung ist u.a. bemerkenswert, dass sie vollständig einer bekannten Formel für das elektrische Feld
entspricht, dem Coulombpotential
einer gegebenen Ladungsverteilung mit der Dichte ρ(x1,x2,x3). Man vermutet an dieser Stelle bereits, dass
und
bzw.
- ρ und
sowie
und
zusammengefasst werden können und dass sich die relativistische Invarianz der Maxwell'schen Elektrodynamik daraus ergibt, siehe dazu Elektrodynamik.
Wenn man die Bedingung der Stationarität aufgibt, muss auf der linken Seite der obigen Gleichung bei Ai zu den Raumkoordinaten das Zeitargument t hinzugefügt werden, während auf der rechten Seite in ji' die sog. „retardierte Zeit“
zu ergänzen ist. Es wird dabei wie zuvor über die drei Raumkoordinaten
integriert. Schließlich ist c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.
Literatur
- Otto Forster: Analysis Band 3: Integralrechnung im Rn mit Anwendungen. 4. Auflage. Vieweg-Verlag, Braunschweig u. a. 2007, ISBN 978-3-528-37252-1.
- John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1 (Graduate Texts in Mathematics 218).
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