Aufzinsung

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Als Aufzinsung (Askontierung) bezeichnet man die Berechnung eines zukünftigen Geldwertes mit Hilfe des anfänglichen Geldwertes, des Zinssatzes und der Laufzeit.

Die allgemeine Berechnung ist wie folgt, wobei EW den Endwert darstellt, BW den Wert zu Beginn (Barwert), i den Zinssatz, sowie n den Zeitraum:

EW = BW · (1 + i)ⁿ

Für die Zinsrechnung gelten

Zinssatz (i): Ein aus dem nominalen Zinssatz zu ermittelnder Zinssatz errechnet sich unter Berücksichtigung der Anzahl der Perioden bezogen auf ein Jahr. Bei jährlich nominalen Zinssätzen wird der Zinssatz unverändert berücksichtig, bei beispielsweise monatlich nominalen Zinssätzen mit 12 geteilt, bei vierteljährlichen nominalen Zinssätzen mit 4.

Laufzeit (n): Auch die Laufzeit ist periodenbezogen zu verwenden. Bei einer Laufzeit von 5 Jahren ist bei einem jährlich nominalen Zinssatz mit „5“ (5 x 1), bei einem monatlich nominalen Zinssatz mit „60“ (5 x 12) und bei einem vierteljährlich nominalen Zinssatz mit „20“ (5 x 4) zu potenzieren.

Beispiel

Verzinsung von 10.000 € (BW) über 5 Jahre (n) mit jährlich nominal 4,5% (i):

EW = 10.000 • (1 + 0,045)⁵

EW = 12.461,82

Nach fünf Jahren sind es also 12.461,82 €.

Verzinsung von 10.000 € (BW) über 5 Jahre (n) mit monatlich nominal 4,5% (i):

EW = 10.000 • (1 + 0,045 / 12)⁶⁰

EW = 12.517,96

Nach fünf Jahren sind es also 12.517,96 €.

Verzinsung von 10.000 € (BW) über 5 Jahre (n) mit vierteljährlich nominal 4,5% (i):

EW = 10.000 • (1 + 0,045 / 4)²⁰

EW = 12.507,51

Nach fünf Jahren sind es also 12.507,51 €.

Die Zinsrechnung ergibt danach bei einem Jahr bei einem jährlichen nominalen Zinssatz:

10.000 x (1 + 0,045) hoch 1 = 10.450,00

Andere Ergebnisse für ein Jahr errechnen sich bei monatlichen, vierteljährlichen oder halbjährlichen nominalen Zinssätzen:

10.000 x (1 + 0,045 / 12) hoch 12 = 10.459,40, monatlich

10.000 x (1 + 0,045 / 4) hoch 4 = 10.457,65, vierteljährlich

10.000 x (1 + 0,045 / 2) hoch 2 = 10.455,06, halbjährlich

Es ergeben sich bei jeweils einem nominalen Zinssatz von 4,5% effektive Zinssätze Höhe von 4,5940%, 4,5765% und 4,5506%.

Effektive und nominale Zinssätze lassen sich wie folgt errechnen:

effektiver Zinssatz = (1 + monatlich nominaler Zinssatz / 12) hoch 12 - 1

monatlich nominaler Zinssatz = ((1 + effektiver Zinssatz) hoch (1 / 12) - 1) x 12

Bei Berechnungen zu viertel- und halbjährlichen nominalen Zinssätzen sind anstelle des Wertes 12 die Werte 4 und 2 zu verwenden.

Auf- oder Abzinsung mit einem Zinsfaktor, ermitteln gezinsten Betrag

Zuerst wird der Zinsfaktor ermittelt. Mit dem Betrag multipliziert wird der gezinste Betrag errechnet.

Rechnen des Zinsfaktors: Zinsfaktor = (Zinssatz + 1) hoch "Zeit in Jahren". Die "Zeit in Jahren" kann ein Teilwert sein, z. B. 0,5 für 6 Monate oder 1,5 für 18 Monate. Ein Zinsfaktor > 1 führt zur Aufzinsung, die Potenzierung mit einer negativen Angabe der "Zeit in Jahren" zu einem Zinsfaktor < 1 bzw. Abzinsung. Zur Abzinsung kann als Zinsfaktor auch der Reziprokwert (Kehrwert) des mit der positiven Anzahl der "Zeit in Jahren" errechneten Zinsfaktors verwendet werden, Beispiele mit 4,5% Zinssatz:

• Zinsfaktor bei 0,5 Jahren 1,0223, der Reziprokwert 0,9782;
• Zinsfaktor bei 1 Jahr 1,0450, der Reziprokwert 0,9569;
• Zinsfaktor bei 1,5 Jahren 1,0683, der Reziprokwert 0,9361;
• Zinsfaktor bei 5 Jahren 1,2462, der Reziprokwert 0,8025

Errechnen des gezinsten Betrages: gezinster Betrag = Zinsfaktor x Betrag

Bei dieser Zinsrechnung wird, wie nachfolgend aufgezeigt, mit dem effektiven (jährlichen) Zinssatz, hier mit 4,5% gerechnet:

1.000,00 € 6 Monate bzw. 0,5 Jahre gezinst ergibt 1.022.25 Euro,

1.022,25 € 6 Monate bzw. 0,5 Jahre gezinst ergibt 1.045,00 Euro.

Insgesamt ergibt sich daraus die jährliche Verzinsung von 4,5%.

Die "Zeit in Jahren" kann in den Tabellenkalkulationen Excel sowie OpenOffice Calc mit der Funktion =TAGE360 ermittelt werden. Hier wird jeder Monat mit 30 Tagen, das Jahr mit 360 Tagen berücksichtigt. Beispiel mit 4,5% Zinssatz:

Ermitteln Zeit in Jahren mit =TAGE360, Startdatum 1. Januar 2005, Enddatum 14. Juli 2005, Zeit in Jahren 0,536111111.

Zinsfaktor bei 0,53611111 Jahren 1,0239, der Reziprokwert 0,9767

Durch Auf- und Abzinsung aller Einnahmen (Vorteile) und Ausgaben (Nachteile) mit der Zeitdifferenz gegenüber einem Betrachtungszeitpunkt können alle Barwerte zusammen gefasst werden. Die Kosten von Alternativprojekten sind besser vergleichbar.

Siehe auch

Zinseszins