Potentialfunktionmethode

Die Potential- bzw. Potentialfunktionmethode ist eine Verfahrensweise der amortisierten Laufzeitanalyse.

Ziel dabei ist es, jeder Operation auf der betrachteten Datenstruktur einen mittleren Kostenwert zuzuweisen, um über diese die erwartete Laufzeit einer beliebigen Folge von Operationen nach oben abzuschätzen. Im Unterschied zur Bankkonto-Methode werden die Kosten a_i einer Operation Op_i nicht im Voraus festgesetzt, sondern hergeleitet. Hierzu wird eine Potentialfunktion $\Phi: D_i \to \mathbb{N}$ eingeführt. Diese ordnet jedem inneren Zustand D_i der Datenstruktur ihr Potential zu. Seien c_i nun die maximalen realen Kosten der Operation Op_i, so ergibt sich der amortisierte Aufwand a_i als:

$a_i = c_i + \Phi\left(D_i\right) - \Phi(D_{i-1})$

Gilt nun, dass das Potential des Initialzustandes D₀ für alle Operationen Op_i einer beliebigen Operationenfolge nie unterschritten wird:

$\forall i \in \{1,\dots,n\}: \Phi(D_0) \le \Phi(D_i)$

Dann ist die Summe der realen Kosten nie höher als die der amortisierten Kosten:

$\sum_{i=1}^n c_i \le \sum_{i=1}^n a_i$

Existiert nun eine Konstante C, welche die obere Grenze der amortisierten Kosten jeder Operation angibt:

$i \in \{1,\dots,n\}: a_i \le C$

So können die Gesamtkosten der Operationenfolge mit n Operationen mit:

$\sum_{i=1}^n c_i \le n \cdot C$

angegeben werden.

Literatur

• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: Introduction to Algorithms. 2. Auflage. MIT Press, Cambridge (Massachusetts) 2001, ISBN 0-262-03293-7, S. 412–415.