Potenz-assoziativ

Eine potenz-assoziative Algebra ist eine Algebra, in welcher die Potenzen eines Elements unabhängig von der Beklammerungsreihenfolge definiert werden können.

Definition

Für eine Algebra $\mathcal{A}$ und jedes $a \in \mathcal{A}$ definiere man

a¹: = a sowie $a^{k+1} := a \cdot (a^k)$ für jedes $k \in \mathbb{N}$.

Die Algebra $\mathcal{A}$ heißt potenz-assoziativ, wenn für alle $a\in \mathcal{A}$ und alle natürlichen Zahlen $r,s \in \N$ (null wird hier nicht als natürliche Zahl angesehen) gilt

$a^{r+s} = (a^r)\cdot (a^s)$

gilt.

Beispiele

• Alle assoziativen Algebren sind potenz-assoziativ.

• Alle alternativen Algebren sind potenz-assoziativ.

• Alle Algebren, in denen es zu jedem $a \in \mathcal{A}$ ein $c_a \in K$ gibt mit $a \cdot a = c_a\cdot a$, sind potenz-assoziativ.
  • Hierzu gehört beispielsweise $\mathbb{R}^3$, ausgestattet mit dem Kreuzprodukt, da $a \times a = 0$ für alle $a \in \mathbb{R}^3$.
  • Die Algebra der Sedenionen ist ebenfalls eine potenz-assoziative Algebra, hier ist $c_a \in \{1, -1\}$.

Literatur

• Ebbinghaus et. al.: Zahlen. Springer, Berlin 1992, ISBN 3-54055-654-0.