Prädikatabbildung

Eine Prädikatabbildung ist eine mathematische Funktion, die einen logischen Wahrheitswert (wahr oder falsch) auf die Zahlen 0 oder 1 abbildet. Dadurch können störende Fallunterscheidungen so umgeformt werden, dass die resultierende Funktion in mathematischen Schlussfolgerungen einfacher verwendbar ist.

Definition

Die folgende Definition stammt von Kenneth E. Iverson, 1962:

Wenn P(n) ein Prädikat ist, dann ist [P(n)] folgendermaßen definiert:

$[P(n)]=\begin{cases} 1, & \text{wenn }P(n)\text{ wahr ist} \\ 0, & \text{wenn }P(n)\text{ nicht wahr ist} \end{cases}$

D. h. dass diese Abbildung einen logischen Wahrheitswert auf einen in mathematischen Formeln weiterverwendbaren Ganzzahlenwert abbildet, und zwar wird eine wahre Aussage auf eine 1, und eine falsche Aussage auf eine 0 abgebildet (siehe Beispiel). Mit dieser Abbildung kann man nun aus komplexen Formeln mit Fallunterscheidungen eine einzige Formel machen.

Beispiel

Die Fibonaccizahlen sind durch folgende Rekurrenzgleichung definiert:

$f_n=\begin{cases} 0, & \text{wenn }n \le 0 \\ 1, & \text{wenn }n = 1 \\ f_{n-1} + f_{n-2}, & \text{wenn }n > 1 \end{cases}$

Mit der Abbildung von Iverson kann man diese Rekurrenzgleichung in eine einfache Form überführen:

$f_n=(f_{n-1} + f_{n-2}) \cdot [n \ge 0] + [n = 1]$

Der Teil (f_{n − 1} + f_{n − 2}) entspricht der rekursiven Definition der Fibonaccizahlen. Der Faktor $[n \ge 0]$ bedeutet, dass alle Fibonaccizahlen mit einem Index kleiner oder gleich 0 auch 0 sind. Und [n = 1] ist genau dann gleich 1, wenn der Index n gleich 1 ist. Dadurch wird die Fibonaccizahl mit dem Index 1 gleich 1, und dadurch ist gewährleistet, dass die Fibonaccizahlen mit einem Index größer als 1 auch einen Wert größer als 0 haben.

Mit dieser Formel kann man nun einfacher die geschlossene Formel bestimmen.

Siehe auch

• Charakteristische Funktion (Mathematik)