Pseudotensor

Ein Axialvektor oder axialer Vektor, auch Pseudovektor genannt, ist in der Physik eine vektorielle Größe, welche bei einer Punktspiegelung des untersuchten physikalischen Systems unverändert bleibt. Zur Unterscheidung nennt man einen Vektor polar, wenn er sein Vorzeichen bei einer Punktspiegelung ändert.

Axialvektoren treten typischerweise auf, wenn physikalische Zusammenhänge durch Kreuzprodukte ausgedrückt werden, d. h. wenn eine willkürlich ausgezeichnete Orientierung des Raumes (in der Regel die rechtshändige) verwendet wird.

Definition

Transformationsverhalten unter einer Bewegung des Systems

Zu einem gegebenen physikalischen System betrachte man ein zweites, welches zu jedem Zeitpunkt aus dem ersten durch dieselbe räumliche Bewegung hervorgeht (d. h. durch eine längen- und winkeltreue Abbildung, keine Bewegung im kinematischen Sinne!). Dabei sind auch ungleichsinnige (orientierungsumkehrende) Bewegungen erlaubt. Zu einem festen Zeitpunkt t wird also ein Teilchen im ersten System, welches sich am Ort P(t) befindet, auf ein Teilchen am Ort P'(t) im bewegten System abgebildet. Masse und Ladung des Teilchens bleiben dabei unverändert. Für kontinuierliche Verteilungen heißt das, dass eine Dichte ρ auf eine Dichte ρ' mit ρ'(t,P') = ρ(t,P) abgebildet wird. Man sagt, eine physikalische Größe habe ein bestimmtes Transformationverhalten unter der Bewegung, wenn diese Transformation die physikalische Größe auf die entsprechende Größe im bewegten System abbildet. Zum Beispiel hat das bewegte Teilchen am Ort P' die transformierte Geschwindigkeit v', welche durch die Geschwindigkeit v des ursprünglichen Teilchens am Ort P bestimmt ist.

Axiale und polare Vektoren

Setzt sich die Bewegung nur aus Verschiebungen und Drehungen zusammen, so ist das Transformationsverhalten für alle vektoriellen Größen dieselbe. Betrachtet man dagegen den Fall einer Punktspiegelung im Raum am Zentrum P_Z, d. h. $\mathbf r' = -\mathbf r$, wobei $\mathbf r = P - P_Z$ und $\mathbf r' = P' - P_Z$ die Ortsvektoren eines Teilchens und seines Spiegelbildes sind, so sind zwei Fälle zu unterscheiden. Ein polarer Vektor, wie etwa die Geschwindigkeit $\mathbf v$ des Teilchens, ist dadurch charakterisiert, dass er wie die Ortsvektoren transformiert: $\mathbf v' = -\mathbf v$. Ein axialer Vektor, wie etwa die Winkelgeschwindigkeit $\mathbf \omega$ des Teilchens, wird dagegen unter der Punktspiegelung auf sich selbst abgebildet: $\mathbf\omega'=\mathbf\omega$. Die Eigenschaft einer vektoriellen Größe, axial oder polar zu sein, legt bereits das Transformationsverhalten unter einer beliebigen Bewegung fest. Denn jede Bewegung lässt sich durch eine Hintereinanderausführung von Translationen, Drehungen und Punktspiegelungen darstellen.

Aktive und passive Transformation

Diese Betrachtungen^[1] zum Transformationsverhalten einer vektoriellen Größe unter einer aktiven Bewegung des Systems hat nichts zu tun mit dem Transformationsverhalten der Komponenten des Vektors unter einer gewöhnlichen Koordinatentransformation. Letzteres ist dasselbe für axiale und polare Vektoren, nämlich das von Komponenten eines Tensors vom Rang eins. Es handelt sich also um echte Vektoren im Sinne der Tensorrechnung, weswegen der Begriff Pseudovektor in diesem Zusammenhang irreführend ist. Tatsächlich gibt es Autoren^[2][3][4], die diese unterschiedlichen Begriffe nicht klar trennen. Viele Autoren ^[5][6] beschreiben eine ungleichsinnige Bewegung des Systems als Koordinatentransformation bei gleichzeitiger Änderung der Orientierung, bezüglich welcher das Kreuzprodukt zu berechnen ist. Dies entspricht einer passiven Transformation, wobei der Beobachter die gleiche Transformation erfährt wie das Koordinatensystem. Anschaulich bedeutet das, dass die rechte Hand bei einer Punktspiegelung des Koordinatensystems zu einer linken Hand wird. Rechnerisch wird das realisiert durch die Einführung eines Pseudotensors, dessen Komponenten unabhängig von der Orientierung eines orthonormalen Koordinatensystems durch das Levi-Civita-Symbol gegeben sind. Dieser vollständig antisymmetrischen Pseudotensor (auch Tensordichte vom Gewicht -1 genannt) ist also kein Tensor. In diesem Sinne ist auch der Begriff Pseudovektor zu verstehen, welcher in dieser Betrachtung bei einer Punktspiegelung des Koordinatensystems seine Richtung ändert (dessen Komponenten dagegen unverändert bleiben). Diese passive Sichtweise liefert die gleichen Ergebnisse bezüglich der Unterscheidung axialer und polarer Vektoren wie die aktive.

Beispiele

• Für den Zusammenhang von Ortsvektor $\mathbf r$, Geschwindigkeit $\mathbf v$ und Winkelgeschwindigkeit $\mathbf\omega$ eines Teilchens gilt $\mathbf v=\mathbf\omega\times\mathbf r$. Unter einer Punktspiegelung $\mathbf r' = -\mathbf r$ prüft man leicht nach, dass $\mathbf v' = -\mathbf v$. Orts- und Geschwindigkeitvektor sind also Polarvektoren. Damit gilt für die Winkelgeschwindigkeit $\mathbf\omega'$ des gespiegelten Teilchens $-\mathbf v=\mathbf\omega'\times(-\mathbf r)$. Also muss $\mathbf\omega'=\mathbf\omega$ gelten, d. h. die Winkelgeschwindigkeit ist ein Axialvektor.
• Aus der Formel für die Lorentzkraft $\mathbf F=-q\mathbf B\times\mathbf v$ folgt, dass das Magnetfeld $\mathbf B$ ein axialer Vektor sein muss, denn die Kraft $\mathbf F$ ist zur Beschleunigung proportional und damit ein polarer Vektor.
• Der Drehimpuls ist definiert als $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf v$. Es folgt $\mathbf L'=\mathbf r'\times\mathbf v'=(-\mathbf r)\times(-\mathbf v)=\mathbf L$, also ist der Drehimpuls ein Axialvektor.
• Die Wirbelstärke $\nabla \times \mathbf v = \mathbf {rot} \; \mathbf v$ mit dem Nabla-Operator $\nabla$ ist ein Axialvektor.

Rechenregeln

• Das Kreuzprodukt zweier polarer oder zweier axialer Vektoren ist ein Axialvektor.
• Das Kreuzprodukt aus einem polaren und einem axialen Vektor ist ein Polarvektor.
• Das Skalarprodukt zweier polarer oder zweier axialer Vektoren ist ein Skalar (d. h. behält sein Vorzeichen unter einer beliebigen Bewegung).
• Das Skalarprodukt aus einem polaren und einem axialen Vektor ist ein Pseudoskalar (d. h. ändert sein Vorzeichen unter einer Punktspiegelung).

Zusammenhang mit antisymmetrischen Tensoren

Einem axialen Vektor kann man über Hodge-Dualität einen antisymmetrischen Tensor zweiter Stufe zuordnen. In Koordinaten ausgedrückt gehört zu einem Vektor a_i die 2-Form ( * a)_ij = − ε_ijka_k = mit dem Levi-Civita-Symbol ε_ijk und unter Verwendung der Summenkonvention. Als Matrix geschrieben erhält man:

$\begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix}$.

Für das Magnetfeld B etwa erhält man auf diese Weise die räumlichen Komponenten des elektromagnetischen Feldstärketensors. Dieser Zusammenhang kann benutzt werden, um Größen wie den Drehimpuls für Räume der Dimension ungleich drei zu verallgemeinern. Nur im R³ hat eine antisymmetrische 2-Form genauso viele unabhängige Komponenten wie ein Vektor. Im R⁴ beispielsweise sind es nicht 4, sondern 6 unabhängige Komponenten.

Beispiel: Spiegelung einer rotierenden Scheibe an einer Ebene

Betrachten wir das Beispiel einer rotierenden horizontalen Scheibe. Die Scheibe habe eine rote Oberseite und eine gelbe Unterseite. Die Rotation wird durch den Winkelgeschwindigkeitsvektor beschrieben. Nehmen wir an, die Rotationsrichtung sei so, dass der Winkelgeschwindigkeitsvektor von der roten Oberseite nach oben wegzeigt. Nun betrachten wir das horizontale Spiegelbild dieser rotierenden Scheibe. Die vertikalen Anteile von Orts- und Geschwindigkeitsvektoren haben sich umgekehrt, die Oberseite ist nun gelb und die Unterseite rot. Der Drehsinn dagegen bleibt erhalten. Also hat sich der vertikale Anteil des Winkelgeschwindigkeitsvektors durch die Spiegelung nicht umgekehrt.

Einzelnachweise

1. ↑ Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: Lectures on physics. Vol. 1, Addison-Wesley, 1964, S. 52-6ff.. 
2. ↑ Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko: Classical mechanics. 3. Auflage. Addison-Wesley, 2000, S. 166ff.. 
3. ↑ axialer Vektor. In: Lexikon der Physik. Spektrum Akademischer Verlag.: „Die Komponenten axialer Vektoren bleiben bei einer Spiegelung des Koordinatensystems, d.h. bei einer Vorzeichenumkehr aller drei Koordinaten, ungeändert;...“. Abgerufen am 23. Juli 2008.
4. ↑ Eric W. Weisstein: Pseudovector. In: MathWorld - A Wolfram Web Resource. : „A typical vector (...) is transformed to its negative under inversion of its coordinate axes.“. Abgerufen am 23. Juli 2008.
5. ↑ Arnold Sommerfeld: Mechanik. In: Vorlesungen über Theoretische Physik. 8. Auflage. Band I, Harri Deutsch, 1994, ISBN 3-87144-374-3, S. 117. 
6. ↑ L. D. Landau, E. M. Lifshitz: Mechanics. In: Course of Theoretical Physics. 3. Auflage. Volume 1, Butterworth-Heinemann, 2000 (Originaltitel: Механика, übersetzt von J. B. Sykes, J. S. Bell), ISBN 0-7506-2896-0, S. 18f.. 

Siehe auch

• Parität
• Chiralität