Quadratintegrierbar

In der Analysis bezeichnet man eine reell- oder komplexwertige Funktion als quadratintegrierbar auf einem Intervall I, wenn das Integral des Quadrats des Absolutbetrags der Funktion über I existiert und konvergiert (d.h. endlich ist), also für das Intervall mit den Grenzen a, b

$\int_a^{b} |f(x)|^2 dx < \infty.$

Betrachtet man die auf ganz $\mathbb R$ definierten Funktion, spricht man im engeren Sinne von quadratintegrierbar, wenn für eine Funktion $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb C$ das Integral

$\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx$existiert und konvergiert.

Der Vektorraum aller quadratintegrierbaren Funktionen bildet mit dem L²-Skalarprodukt $\langle f,g \rangle =\int f^*(x) g(x) {\rm d}x$ einen Hilbertraum, den man mit $L^2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ bezeichnet und der ein Spezialfall eines Lp-Raums ist.