Quantil-Quantil-Plot

Ein Quantile-Quantile-Plot, kurz auch Q-Q-Plot genannt, ist eine grafische Darstellung, in der die Quantile zweier statistischer Variablen gegeneinander abgetragen werden. Der Quantile-Quantile-Plot wurde als Verfahren der explorativen Datenanalyse entwickelt und dient zum Vergleich der Verteilungen dieser Variablen.

Vergleich der Verteilung zweier statistischer Merkmale

Die Beobachtungswerte zweier Merkmale, deren Verteilung man vergleichen will, werden jeweils der Größe nach geordnet. Diese geordneten Daten werden zu Wertepaaren zusammengefasst und in einem Koordinatensystem abgetragen. Ergeben die Punkte eine annähernde Gerade, kann man vermuten, dass den beiden Merkmalen die gleiche Verteilung zu Grunde liegt. Problematisch ist das Verfahren, wenn von den beiden Merkmalen unterschiedlich viele Beobachtungen vorliegen. Hier kann mit Interpolationsverfahren abgeholfen werden.

Angegeben ist hier ein Beispiel für ca. 110 Kriegsschiffe bei Ausbruch des 2. Weltkriegs. Erhoben wurden die Variablen Länge und Breite. Das Streudiagramm zeigt, dass es offensichtlich zwei unterschiedliche Gruppen gibt, die sich deutlich als Cluster abheben. Für den Quantile-Quantile-Plot wurden die Daten standardisiert, um die Vergleichbarkeit zu erleichtern. Man sieht an der Lücke in der Punktkurve das Zerfallen der Daten in zwei Cluster. Für den Cluster unten links scheint der Typ der Verteilung für beide Variablen gleich zu sein. Für den zweiten Cluster oben rechts ist die Breite im Vergleich zum ersten Cluster tendenziell größer. Die „Ausbeulung" des Plots zeigt, dass hier die Verteilungen von Länge und Breite ungleich sind.

Streudiagramm der Variablen Länge und Breite

Q-Q-Plot der Variablen Länge und Breite

Überprüfung der Verteilung eines Merkmals

Die Beobachtungswerte eines Merkmals werden der Größe nach geordnet. Als Vergleich dienen die Quantile der theoretischen Verteilung, die dem entsprechenden Verteilungswert zugehören. Wenn die Merkmalswerte aus der Vergleichsverteilung stammen, stimmen die empirischen und die theoretischen Quantile annähernd überein, d. h. die Werte liegen auf einer Diagonalen.

Q-Q-Plot mit zu großen Abweichungen

Der Quantile-Quantile-Plot kann jedoch nicht einen Verteilungstest ersetzen.

Anwendungen

• Q-Q-Plots erlauben eine schnelle Überprüfung der Verteilung von Residuen
• Vergleich empirischer Daten mit einer theoretischen Verteilung (z. B. Test auf Normalverteilung)

Literatur

• Hartung, Joachim, Elpelt, Bärbel, Klösener, Karl-Heinz: Statistik, München 2002
• J. M. Chambers, W. S. Cleveland, Beat Kleiner, Paul A. Tukey: Graphical Methods for Data Analysis, Wadsworth, 1983.

Weblinks

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