Quotientenvektorraum

Der Faktorraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Er ist derjenige Vektorraum, der als Bild einer Parallelprojektion entlang eines Unterraumes entsteht.

Definition

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K und U ein Unterraum von V. Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf V durch

$v_1\sim v_2,\quad\mathrm{gdw.}\ v_1-v_2\in U,$

d.h. wenn sich v₁ und v₂ um einen Vektor aus U unterscheiden, oder anders gesagt: wenn die Gerade durch die Punkte v₁ und v₂ parallel zu U ist.

Die Äquivalenzklasse eines Punktes v ist

$[v]=v+U = \{v+u\mid u\in U\},$

anschaulich der zu U "parallele" affine Unterraum durch v. Die Äquivalenzklassen werden auch als Nebenklassen bezeichnet; dieser Begriff stammt aus der Gruppentheorie.

Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit V / U bezeichnet und heißt der Faktorraum von V nach U. Er bildet einen Vektorraum, wenn man die Vektorraumoperationen vertreterweise definiert:

• [v₁] + [v₂] = [v₁ + v₂]
• $\lambda\cdot[v] = [\lambda v]$

für $v,v_1,v_2\in V$ und $\lambda\in K$.

Eigenschaften

• Es gibt eine kanonische surjektive lineare Abbildung

$\pi\colon V\to V/U,\quad v\mapsto[v].$

• Ist W ein Komplement von U in V, d.h. ist V die direkte Summe von U und W, so ist die Einschränkung von π auf W ein Isomorphismus. Es gibt aber keine kanonische Möglichkeit, V / U als Unterraum von V aufzufassen.

• Der Dualraum von V / U kann mit denjenigen Linearformen auf V identifiziert werden, die auf U identisch 0 sind.

• Der Homomorphiesatz besagt, dass eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$ einen Isomorphismus

$V/{\ker f}\to\mathrm{im}\,f$

zwischen dem Faktorraum von V nach dem Kern von f und dem Bild von f induziert, d.h. die Verkettung

$V \longrightarrow V/{\ker f}\longrightarrow\mathrm{im}\,f\longrightarrow W$

ist gleich f.

• Die Dimension eines Faktorraums lässt sich folgendermaßen berechnen (falls V endlich-dimensional ist):

$\dim V/U = \dim V - \dim U$

Dies folgt durch Anwenden der Dimensionsformel für lineare Abbildungen auf die kanonische Abbildung, da U gerade ihr Kern ist.

Anwendung in der Funktionalanalysis

Viele normierte Räume entstehen auf die folgende Weise: Sei V ein reeller oder komplexer Vektorraum und sei p eine Halbnorm auf V. Dann ist $U=\left\{v\in V : p(v)=0\right\}$ ein Untervektorraum von V. Der Faktorraum V / U wird dann mit der Norm $[v] \mapsto p(v)$ ein normierter Vektorraum.

Allgemeiner: Sei V ein topologischer Vektorraum, der nicht hausdorffsch ist. Dann lässt sich analog zu oben ein Unterraum definieren: $U=\left\{v\in V : \text{Jede 0-Umgebung enthaelt } v\right\}= \overline{\{0\}}$. Der Faktorraum V / U wird dann mit der Quotiententopologie ein Hausdorffscher topologischer Vektorraum.

Beispiele

• Die L^p-Räume und damit auch die Sobolew-Räume sind Faktorräume

Siehe auch

• Quotientenabbildung