Rankine-Hugoniot-Gleichung

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Die Rankine-Hugoniot-Bedingung oder auch Rankine-Hugoniot-Gleichung (nach William John Macquorn Rankine und Pierre-Henri Hugoniot) beschreibt das Verhalten von Stoßwellen einer eindimensionalen hyperbolischen Erhaltungsgleichung u_t + f(u)_x = 0. Gegeben zwei Zustände u_L und u_R links und rechts eines Schocks, besagt die Bedingung, dass die Schockgeschwindigkeit s die Gleichung

f(u_L) − f(u_R) = s(u_L − u_R)

erfüllt. Im Falle einer skalaren Gleichung liefert dies direkt die Schockgeschwindigkeit

$s = \frac{f(u_L) - f(u_R)}{u_L-u_R}$.

Bei Systemen mit $u \in \mathbb{R}^n$ ist die Situation schwieriger. Im Falle einer linearen Gleichung u_t + Au_x = 0 ergibt sich die Bedingung, dass die Schockgeschwindigkeit ein Eigenwert der Matrix A sein muss und die Differenz der Zustände u_L − u_R ein Eigenvektor von A. Dies ist nicht immer möglich, was dann bedeutet, dass diese Zustände durch eine Sequenz von Unstetigkeiten verbunden sind. Dies kann auch auf nichtlineare Gleichungen angewandt werden, wobei dann zu beachten ist, dass sich hier die Schockgeschwindigkeiten mit der Zeit ändern.

Umgekehrt bezeichnet man bei Systemen die Menge der Zustände, die mit einem gegebenen festen Zustand durch einen einzigen Schock verbunden werden können, als Hugoniot-Lokus.

Euler-Gleichungen

Im Falle der Euler-Gleichungen ergeben sich spezielle Beziehungen. Es sei ρ die Dichte, p der Druck und u die Geschwindigkeit. Mit e ist die innere Energie pro Masseneinheit bezeichnet; im idealen Gas ist damit die Zustandsgleichung somit p = ρ(κ − 1)e (κ ist der Adiabatenexponent).

Elimination der Geschwindigkeit führt auf die folgende Beziehung:

$2\left(h_R-h_L\right)=\left(p_R-p_L\right)\cdot \left(\frac{1}{\rho_L}+\frac{1}{\rho_R}\right)$,

wobei h = p / ρ + e. Das wird als hugoniotsche Adiabate bezeichnet. Wenn nun die Zustandsgleichung für das ideale Gas verwendet wird, ergibt sich

$\frac{p_L}{p_R}= \frac{(\kappa+1)-(\kappa-1)\frac{\rho_R}{\rho_L}} {(\kappa+1)\frac{\rho_R}{\rho_L}-(\kappa-1)} \quad\mbox{bzw.}\quad \frac{\rho_R}{\rho_L}=\frac{p_L(\kappa-1)+p_R(\kappa+1)}{p_L(\kappa+1)+p_R(\kappa-1)}$.

Da die Drücke stets positiv sind, folgt daraus, dass das Dichteverhältnis ρ_L / ρ_R niemals größer als (κ + 1) / (κ − 1) sein kann. Für Luft mit κ bei etwa 1,4 beträgt das Verhältnis ungefähr 6. Dieses Ergebnis ist anschaulich nachvollziehbar, da eine Zunahme des Drucks auch zu einer Temperaturzunahme führt, die der Dichtezunahme teilweise entgegenwirkt. Während die Stoßstärke (der Überdruck) beliebig groß werden kann, erreicht das Dichteverhältnis einen endlichen Grenzwert. Allerdings kann hohe Temperatur bei starken Stößen zur Dissoziation oder sogar zur Ionisation und damit zur Zunahme der thermodynamischen Freiheitsgrade und damit zu einem kleineren Wert von κ führen. Daher kann in realen Gasen diese Obergrenze wesentlich höher sein als für das ideale Gas.

Die ersten beiden Erhaltungssätze folgen aus den Eulergleichungen bzw. führen zu diesen. Mit ihnen können die Sprungbedingungen für die Geschwindigkeit und die Dichte (bzw. Druck) an der Stoßfront dargestellt werden. Die zentrale Idee von Rankine und Hugoniot war nun die Nutzung des dritten Erhaltungssatzes (der Energieerhaltung), um damit eine Sprungbedingung für die Entropie zu formulieren. Jene ist an der Stoßfront unstetig:

S₁ − S₀ > 0.

Daraus folgt, dass eine Stoßwelle kein adiabatischer (oder isentroper) Prozess mehr ist und die Enthalpieänderung auch eine Entropiekomponente enthält:

${\rm d}H = \int^{2}_{1}\frac{{\rm d}p}{\rho}+T{\rm d}S$,

im Gegensatz zu

${\rm d}H = \int^{2}_{1}\frac{{\rm d}p}{\rho}$

für eine adiabatische Verdichtung. Die hugoniotsche Adiabate ist auch als Stoßadiabate bekannt.

Literatur

• H. Hugoniot: On the Propagation of Motion in Bodies and in Perfect Bodies in Particular, 1887, I. Journal de l'Ecole Polytechnique, Band 57, Seiten 3-97.
• M. A. Meyers: Dynamic Behaviour of Materials, 1994, John Wiley & Sons, New York, ISBN 0-471-58262-X.
• Randall J. LeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, 2002, Cambridge Texts in Applied Mathematics, ISBN 0-521-00924-3.
• W. J. M. Rankine: On the Thermodynamic Theory of Waves of Finite Longitudinal Disturbance, 1870, Philosophical Transactions, London/Edinburgh, Band 160, Seiten 270-288.

Weblinks

• Stanley P. Marsh: LASL Shock Hugoniot Data. In: Los Alamos Series on Dynamic Material Properties. University of California Press, Berkeley and Los Angeles, California, 1980, ISBN 0-520-04008-2 (PDF-Datei; 25 MB).