Rayleighsche Beziehung

Teilweise Reflexion und Transmission eines Pulses an der sprunghaften Änderung der Brechzahl. Die Gruppengeschwindigkeit ist beim transmittierten Signal geringer

Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich ein Wellenpaket als Ganzes fortbewegt.

Ein Wellenpaket ist eine Welle, deren Amplitude nur in einem begrenzten Raumgebiet ungleich Null ist. Der Amplitudenverlauf wird Hüllkurve des Wellenpakets genannt. Über eine Fourier-Reihe kann man sich ein Wellenpaket als eine Überlagerung von Einzelwellen mit verschiedenen Frequenzen vorstellen. Sie breiten sich jeweils mit einer bestimmten Phasengeschwindigkeit aus, die frequenzabhängig sein kann. Die Hüllkurve bewegt sich jedoch mit der Gruppengeschwindigkeit. Die Form der Hüllkurve kann sich bei Vorliegen von Dispersion während der Fortbewegung des Wellenpaketes ändern.

Die Gruppengeschwindigkeit ergibt sich aus der Kreisfrequenz ω der Welle und der Kreiswellenzahl k zu

$v_\mathrm{g} = \frac{\partial \omega}{\partial k}. \,$

Die Gruppengeschwindigkeit ist von der Phasengeschwindigkeit v_p zu unterscheiden, die angibt, mit welcher Geschwindigkeit sich Stellen konstanter Phase bewegen. Die Phasengeschwindigkeit ist

$v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k} = \lambda \cdot f \,$

mit der Wellenlänge λ und der Frequenz f.

Durch Einsetzen von v_pk = ω in die Definition der Gruppengeschwindigkeit ergibt sich nach Anwenden der Produktregel die Rayleighsche Beziehung

$v_\mathrm{g} = v_\mathrm{p} + k \frac{\mathrm{d}v_\mathrm{p}}{\mathrm{d}k}.$

Sie lässt sich auch mit der Wellenlänge λ = 2π / k schreiben als

$v_\mathrm{g} = v_\mathrm{p} - \lambda \frac{\mathrm{d}v_\mathrm{p}}{\mathrm{d}\lambda}.$

Oft stellt man sich die Gruppengeschwindigkeit als die Geschwindigkeit vor, mit der das Wellenpaket Energie oder Information durch den Raum transportiert. Dieses stimmt in den meisten Fällen, und zwar immer dann, wenn Verluste vernachlässigt werden können, so dass die Gruppengeschwindigkeit als Signalgeschwindigkeit des Wellenpakets verstanden werden kann. Allerdings kann bei Lichtpulsen in stark verlustbehafteten Medien die Gruppengeschwindigkeit wesentlich größer sein als die Phasengeschwindigkeit, und sogar größer als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit ist jedoch nicht möglich, da die Signalgeschwindigkeit stets maximal gleich c ist (im Fall der verlustbehafteten Medien ist die Signalgeschwindigkeit nicht identisch der Gruppengeschwindigkeit!). Vergleiche hierzu einen Bericht von Forschern der Universität Genf im Weblink. Korrekter wäre in diesem Zusammenhang von der Frontgeschwindigkeit zu sprechen. Dies ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Wellenfronten (d. h. Flächen gleicher Amplitude) bewegen. Die Gruppengeschwindigkeit ist hingegen die Geschwindigkeit, mit der sich die Einhüllende des Wellenpakets bewegt. Dieser feine Unterschied relativiert die Vorstellung der Übertragung mit Überlichtgeschwindigkeit bei negativer Gruppengeschwindigkeit. Entscheidend für die Übertragung von Information ist die Frontgeschwindigkeit, diese kann niemals Überlichtgeschwindigkeit erreichen. Siehe dazu den Link "Experiment zur Signalübertragung mit „Überlichtgeschwindigkeit“".

Die Funktion ω(k), die beschreibt, wie ω von k abhängt, wird Dispersionsgleichung genannt. Ist ω proportional zu k, ist die Gruppengeschwindigkeit identisch mit der Phasengeschwindigkeit. Im anderen Fall zerfließt die Hüllkurve des Wellenpakets, während es sich ausbreitet. Diese Dispersion ist ein wichtiger Effekt, denn er ist unter anderem dafür verantwortlich, dass durch Lichtwellenleiter sich ausbreitende Signale zerfließen. Auch bei der Entwicklung von Lasern, die ultrakurze Lichtpulse erzeugen, ist es wichtig, die Dispersion zu berücksichtigen.

Weblinks

• Quantum Correlations With Moving Observers - GAP-Optique - Department of Physics University of Geneva Switzerland - engl.
• Experiment zur Signalübertragung mit „Überlichtgeschwindigkeit“
• Java-Animation die Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit veranschaulicht

Siehe auch

• Gruppenlaufzeit