Reflexiv (Mengentheorie)

Drei reflexive Relationen, als gerichtete Graphen dargestellt

Die Reflexivität einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn x R x für alle Elemente x der Menge gilt (also jedes Element in Relation zu sich selbst steht). Man nennt R dann reflexiv. Die Relation heißt irreflexiv, wenn die Beziehung x R x für kein Element x der Menge gilt (also kein Element in Relation zu sich selbst steht).

Reflexiv und irreflexiv sind nicht das Gegenteil voneinander; es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind.

Die Reflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation; die Irreflexivität ist eine der Voraussetzungen für eine strikte Ordnungsrelation.

Formale Definition

Ist M eine Menge und $R \subseteq M \times M$ eine zweistellige Relation auf M, dann definiert man (unter Verwendung der Infixnotation):

R ist reflexiv :$\Longleftrightarrow \forall x \in M: xRx$

R ist irreflexiv :$\Longleftrightarrow \forall x \in M: \neg \ xRx$

Beispiele

Reflexiv

• Die Kleiner-Gleich-Relation $\le \$ auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets $x \le x$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation $\ge \$.

• Die gewöhnliche Gleichheit $=\$ auf den reellen Zahlen ist reflexiv, da stets x = x gilt. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

• Die Teilmengenbeziehung $\subseteq$ zwischen Mengen ist reflexiv, da stets$A\subseteq A$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine Halbordnung.

Irreflexiv

• Die Kleiner-Relation $&amp;amp;lt; \$ auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie x < x gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Totalordnung. Gleiches gilt für die Relation $&amp;amp;gt; \$.

• Die Ungleichheit $\ne$ auf den reellen Zahlen ist irreflexiv, da nie $x\ne x$ gilt.

• Die echte Teilmengenbeziehung $\subset$ zwischen Mengen ist irreflexiv, da nie $A\subset A$ gilt. Sie ist darüber hinaus eine strenge Halbordnung.

Weder reflexiv noch irreflexiv

• Die zweistellige Relation „findet hübsch“ auf der Menge aller Menschen ist weder reflexiv noch irreflexiv, denn manche Menschen finden sich selbst hübsch, manche Menschen finden sich selbst nicht hübsch.

• Die folgende Relation auf der Menge der reellen Zahlen ist weder reflexiv noch irreflexiv:
      $xRy :\Longleftrightarrow y = x^2$
  (Begründung: Für x: = 1 gilt xRx, für x: = 2 gilt $\neg xRx$.)

Darstellung als gerichteter Graph

Jede beliebige Relation R auf einer Menge M kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von M. Vom Knoten a zum Knoten b wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil $a \longrightarrow b$) gezogen, wenn $a R b\$ gilt.

Die Reflexivität von R lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Für jeden Knoten a gibt es eine Schleife $\stackrel{a}\circlearrowright$  . Entsprechend ist die Irreflexivität dadurch gegeben, dass es für keinen Knoten a eine Schleife $\stackrel{a}\circlearrowright$ gibt.

Eigenschaften

• Mit Hilfe der identischen Relation Id_M (die aus allen Paaren (x,x) besteht) kann man die Begriffe auch so charakterisieren:

  R ist reflexiv $\Longleftrightarrow Id_M \subseteq R$

  R ist irreflexiv $\Longleftrightarrow Id_M \cap R = \varnothing$

• Ist die Relation R reflexiv bzw. irreflexiv, dann gilt dies auch für die konverse Relation R ^{− 1}. Beispiele: die zu $\le$ konverse Relation ist $\ge$, die zu $&amp;amp;lt;\$ konverse ist $&amp;amp;gt;\$.

• Ist die Relation R reflexiv, dann ist die komplementäre Relation R^c irreflexiv. Ist R irreflexiv, dann ist R^c reflexiv. Dabei ist die komplementäre Relation definiert durch

  $x R^{\rm c} y :\Longleftrightarrow \neg x R y$.

• Die Relation auf der leeren Menge ist als einzige Relation sowohl reflexiv als auch irreflexiv.

Siehe auch

• Reflexiv-transitive Hülle