Rubik-Würfel

Rubiks Zauberwürfel

Der Zauberwürfel (englisch: Rubik’s Cube) ist ein mechanisches Geduldspiel, das vom ungarischen Bauingenieur und Architekten Ernő Rubik erfunden wurde und 1980 mit dem Sonderpreis Bestes Solitärspiel der Jury „Spiel des Jahres“ ausgezeichnet wurde. Es erfreute sich insbesondere Anfang der 1980er-Jahre bei Kindern, Jugendlichen und Erwachsenen großer Beliebtheit.

Beschreibung

Es handelt sich dabei um einen Würfel mit einer Kantenlänge von 57,5 mm (gemessen an den Mittelachsen und in der Standardgröße), der in Höhe, Breite und Tiefe in drei Ebenen unterteilt ist, die sich durch 90-Grad-Drehungen um ihre jeweilige Raumachse zur Deckung bringen lassen. Dadurch können Position und Lage der verschiedenen Steine fast beliebig geändert werden. Auf die nach außen sichtbaren Flächen der Steine sind kleine Farbflächen geklebt. In der Grundstellung sind die Steine so geordnet, dass jede Seite des Würfels eine einheitliche, aber von Seite zu Seite unterschiedliche Farbe besitzt.

Ziel ist es für gewöhnlich, den Würfel wieder in seine Grundstellung zu bringen, nachdem zuvor die Seiten in eine zufällige Stellung gedreht wurden. Auf den ersten Blick erscheint diese Aufgabe außerordentlich schwierig, jedoch wurden schon frühzeitig Strategien entwickelt, deren Kenntnis ein relativ leichtes Lösen gestattet.

Aus der Grundstellung heraus lassen sich mit oft nur wenigen Drehungen interessante, mehr oder weniger symmetrische Muster hervorbringen.

Geschichte

Nachdem Rubik den Würfel am 30. Januar 1975 patentiert hatte, hielt er im Dezember 1977 Einzug in die „kapitalistische Welt“, als ein Exemplar des Würfels der im Vereinigten Königreich ansässigen Firma Pentangle zugesandt wurde. Diese Firma erwarb darauf hin die Lizenz zum Vertrieb des Würfels in Großbritannien. Die Regierung in Ungarn vergab aber 1979 die weltweiten Verkaufsrechte für den Würfel an die US-amerikanische Firma Ideal Toy Corporation. Diese schlossen vertragswidrig auch die Rechte für das Vereinigte Königreich ein. Ideal Toy Corporation erlaubte Pentangle den Verkauf des Würfels an Geschenk-, aber nicht an Spielzeuggeschäfte.

1981 hatte die „Würfelitis“ ihren Höhepunkt. Ideal Toy Corporation konnte die Nachfrage nicht erfüllen, was es fernöstlichen Billigprodukten ermöglichte, den Markt zu überschwemmen. Insgesamt wurden wohl um die 160 Millionen Würfel allein bis zum Höhepunkt des Booms verkauft. Anfang 1982 brach die Nachfrage für den Würfel plötzlich ein und mit ihr auch die Nachfrage nach vielen anderen Geduldsspielen. Es dauerte 15 Jahre, bis sich der Markt erholt hatte.

Ernő Rubik war nicht der erste, der sich mit dem Thema eines Spiels dieser Sorte beschäftigte. Schon 1957 entwickelte der Chemiker Larry Nichols einen Würfel dieser Art, der allerdings nur aus 2×2×2 Teilen bestand und durch Magnete zusammengehalten wurde. Er ließ seinen Entwurf im Jahre 1972 patentieren. 1984 gewann Nichols eine Patentklage gegen die Firma, die den Rubik’s Cube in den USA vertrieb. Allerdings wurde dieses Urteil 1986 teilweise aufgehoben, so dass es nur noch den 2x2x2 großen Pocket Cube betraf.^[1]

Auf der CeBIT 2009 wurde auch eine digitale Version des Würfels vorgestellt, welche mit Leuchtdioden und Touchfeldern ausgestattet ist.^[2]

Lösungsstrategie für den Zauberwürfel

Strategien, die mit möglichst wenigen Bewegungen des Würfels auskommen, sind meist nur mit Hilfe eines Computers oder umfangreicher Stellungstabellen realisierbar. Andere, leichter zu merkende Strategien kommen mit wenigen Basiszügen aus, erfordern aber im Allgemeinen eine höhere Zahl von Bewegungen.

Begriffe

• Eckstein: Die acht Ecksteine verbinden je drei angrenzende Flächen in den Ecken
• Kantenstein: Die zwölf Kantensteine verbinden je zwei angrenzende Flächen in den Kantenmitten
• Mittelstein: Die sechs Steine in der Mitte der Würfelflächen besitzen zueinander konstruktionsbedingt immer dieselbe relative Lage und bestimmen so, welche Farben aneinandergrenzen müssen

Geöffneter Zauberwürfel

Achsenkreuz mit 6 Mittelsteinen (einfarbig)

12 Kantensteine (zweifarbig)

8 Ecksteine (dreifarbig)

Notation

Um Zugkombinationen für den Würfel zu notieren, wird jeder Seite ein Buchstabe zugeordnet.

Seite	Abkürzung
	dt.	engl.
Vorne	V	F
Hinten	H	B
Rechts	R	R
Links	L	L
Oben	O	U
Unten	U	D

Beispiel: Die folgende Kombination kippt zwei Kantensteine und lässt alle übrigen unverändert:

K₁ = H ^{− 1}R²H²RH ^{− 1}R ^{− 1}H ^{− 1}R²VUHU ^{− 1}V ^{− 1}

Dabei bedeutet H ^{− 1} eine Drehung der hinteren Seite um 90° gegen den Uhrzeigersinn, R² eine Drehung der rechten Seite um 180° und R eine Drehung der rechten Seite um 90° im Uhrzeigersinn. Dabei gilt stets die relative Orientierung der zu drehenden Seite: Beispielsweise ist die Drehung der Unterseite um 90° im Uhrzeigersinn genau entgegengesetzt zur Drehung der Oberseite um 90° im Uhrzeigersinn.

Grafische Notation

Grafische Notationsform für den Zauberwürfel

Alternativ dazu verwenden manche Anleitungen auch grafische Notationsformen, entweder als dreidimensionale Würfeldarstellungen oder als 3×3-Aufsicht der Vorderseite mit Pfeilen, die die Drehung der Würfelflächen angeben. Letztere haben den Nachteil, dass Operationen der (von vorne gesehen) mittleren und hinteren Würfelebene nur schwer darstellbar sind, z. B. durch eine zusätzliche Abwicklung der Oberseite. Ein Vorteil dieser Notation ist allerdings, dass sie Drehungen der anderen Mittelebenen als Einzelzüge darstellen kann.

Optimale Lösungen

Der kürzeste Weg, um den Zauberwürfel aus einer zufällig gegebenen Stellung in die Ausgangsstellung zu überführen, wird als Gottes Algorithmus (engl. God's Algorithm) bezeichnet. Eine Formulierung, die auf den englischen Gruppentheoretiker John Conway oder einen seiner Kollegen in Cambridge zurückgeht. Es gibt dabei zwei Möglichkeiten, die Würfelbewegungen zu zählen: im Allgemeinen werden komplett durchgeführte Drehungen von Seitenflächen (und nicht nur Vierteldrehungen) als ein Zug gezählt.

Die erste theoretisch optimale Lösung stammt von Richard E. Korf, der 1997 zeigte, dass die durchschnittliche optimale Lösung 18 Züge benötigt.^[3] Er ging außerdem davon aus, dass nie mehr als 20 Züge (Gottes Zahl) erforderlich sind, jedoch konnte er das nicht beweisen. Bereits 1992 hatte Dik T. Winter eine Stellung gefunden, die 20 Züge benötigt. Den Beweis, dass diese Stellung tatsächlich nicht in weniger Zügen zu lösen ist, erbrachte Michael Reid im Jahr 1995.

Im August 2008 konnte der amerikanische Informatiker Tamas Rokicki aber mit gewaltigem Rechneraufwand zeigen, das die Anzahl der Züge, die man bei richtiger Strategie maximal dazu benötigt, Rubiks Zauberwürfel aus jeder beliebigen Stellung in seine Ausgangslage zurückzudrehen, höchstens 22 sein kann.^[4] Bei seiner Suche hat er bisher jedoch keine Stellung gefunden, die 21 oder 22 Züge benötigen würde.

Mathematik

Der Würfel als mathematische Gruppe

Der Würfel kann als mathematische Gruppe aufgefasst werden.

Hierfür wird jede Stellung als eine Verknüpfung der sechs möglichen Basis-Permutationen $\boldsymbol B = \{V, H, R, L, O, U\}$ betrachtet.

Alle möglichen Permutationen (Stellungen) bilden die Menge $\boldsymbol G_W$. Jede Stellung ist durch eine Verknüpfung der sechs Grundpermutationen $\boldsymbol B_W = \{V, H, R, L, O, U\} \subset \boldsymbol G_W$ zu erreichen, die mit der zweistelligen Verknüpfung $\circ:\boldsymbol G\times \boldsymbol G\rightarrow \boldsymbol G$ verbunden werden.

Außerdem existiert sowohl ein neutrales Element, die Grundstellung i (entspricht einer „Nulloperation“ ausgeführt auf dem gelösten Würfel), denn für alle möglichen Permutationen (Gruppenelemente) p gilt $p\circ i = i \circ p = p$, als auch ein inverses Element, da zu jeder Permutation p ein Element p ^{− 1} mit $p\circ p^{-1} = p^{-1}\circ p = i$ existiert, zum Beispiel $R \circ R^{-1} = i$ oder $H^{-2} \circ U^{-1} \circ U \circ H^2 = i$. Weiterhin gilt für alle $X \in \boldsymbol B_W: X^2 = X^{-2}$.

Das Tripel $(\boldsymbol G,\circ, i)$ bildet daher eine Gruppe im Sinne der Algebra. Diese ist nicht kommutativ, da die Verknüpfung $\circ$ nicht kommutativ ist ($R \circ H \neq H \circ R$).

Lösungen des Würfels

Sei jetzt eine Permutation $s \in \boldsymbol G_W$ gegeben (ein verdrehter Würfel), so besteht die Aufgabe darin, eine endliche Folge (σ_i) von Permutationen aus der Menge $\boldsymbol B_W$ zu finden, die genau diese Permutation s erzeugt:

$\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \ldots \circ \sigma_n = s$

Die Lösung ist nicht eindeutig, das heißt, es gibt viele Lösungen, von denen die kürzeste gesucht ist. Der Durchmesser der Gruppen, also die maximale Länge einer Permutation, mit der alle Elemente aus $\boldsymbol G$ erreicht werden, ist für $\boldsymbol G_W$ unbekannt.

Im Juni 2007 haben Gene Cooperman und Dan Kunkle von der Northeastern University in Boston gezeigt, dass 26 Züge stets ausreichen. ^[5] Im April 2008 hat sich diese Schranke nochmal auf 23 verringert (s.o.).

Ordnung der Gruppe G

Die Ordnung einer Gruppe $(\boldsymbol G,\circ,i)$ entspricht der Mächtigkeit ihrer Trägermenge $|\boldsymbol G|$. Da es nur eine endliche Zahl von möglichen Stellungen geben kann, entspricht diese der Anzahl der möglichen Stellungen:

$|\boldsymbol G_W|$ = $\frac{ 8! \cdot 3^8 \cdot 12! \cdot 2^{12}}{3 \cdot 2 \cdot 2} = 43.252.003.274.489.856.000 \approx 4{,}3 \cdot 10^{19}$^[6]

Diese ergeben sich aus

• 8 Stellen, an denen sich die Eckwürfel befinden können (8!),
• 3 Drehpositionen, die jeder Eckwürfel einnehmen kann (3⁸),
• 12 Stellen, auf die sich die Kantenwürfel verteilen (12!),
• 2 Drehpositionen, die jede Kante einnehmen kann (2¹²).

Der Nenner ergibt sich aus drei Bedingungen, die gelten, wenn der Würfel verdreht, aber nicht auseinandergenommen wird:

• Wenn ein Eckwürfel verdreht ist, dann ist immer eine weitere Ecke verdreht (3)
• Wenn eine Kante verdreht ist, dann ist immer eine weitere Kante verdreht (2)
• Wenn zwei Eckwürfel in ihrer Stelle vertauscht, aber nicht verdreht sind, dann sind auch zwei Kanten miteinander vertauscht (2).

Untergruppen

Wenn man die Menge der erzeugenden Permutationen begrenzt, entstehen Trägermengen mit geringerer Mächtigkeit, die Teilmengen von $\boldsymbol G_W$ sind. Diese Untergruppen sind für das Lösen des Würfels mit Computern von entscheidender Bedeutung.

Wettbewerbe

Einige Leute, die sich Speedcuber nennen, haben Strategien gefunden, die es ihnen ermöglichen, mit 45 bis 60 Bewegungen einen beliebig verdrehten Würfel zu lösen. Beim Speedcubing, also dem Lösen auf Zeit, kommt es darüber hinaus aber auch auf Fingerfertigkeit und das Verinnerlichen einer hohen Anzahl von vorgefertigten Zugfolgen an. Im Speedcubing werden Landes-, Kontinental- und Weltmeisterschaften ausgetragen.

Die erste Weltmeisterschaft, veranstaltet vom Guinness-Buch der Rekorde, fand am 13. März 1981 in München statt. Die Würfel waren 40-mal verdreht und mit Vaseline eingerieben. Gewinner der Meisterschaft war Jury Fröschl aus München mit einer Rekordzeit von 38 Sekunden.

Der aktuelle Weltrekord, aufgestellt am 13. Juli 2008 von dem Niederländer Erik Akkersdijk, liegt bei 7,08 Sekunden für einen 3×3×3-Würfel.^[7]

Blindfold Cubing

Eine andere bekannte Disziplin ist das sogenannte Blindfold Cubing. Dabei prägt man sich zunächst den verdrehten Zauberwürfel ein und löst ihn dann mit verbundenen Augen, ohne ein weiteres Mal auf den Würfel zu sehen.

Der aktuelle Weltrekord im Blindfold Cubing liegt bei 48,05 Sekunden, aufgestellt vom Finnen Ville Seppänen am 6.Dezember 2008.^[8][9]

Varianten

Zauberwürfel-Varianten

Megaminx

Es gibt einige Varianten dieses mechanischen Puzzles. Etwas schwieriger ist ein mit Bildern bedruckter Würfel, da durch die allgemein bekannten Lösungsstrategien zwar die Farbflächen an der richtigen Stelle zu liegen kommen, jedoch die mittleren Flächen nicht immer in der richtigen Orientierung. So gibt es einfachere Würfel, die aus nur zwei Ebenen in jeder Raumrichtung bestehen wie der Pocket Cube und kompliziertere Varianten, die aus vier Ebenen („Rubik’s Revenge“, auch bekannt als „Rubiks Rache“ beziehungsweise „Rubik’s Master Cube“), fünf Ebenen („Professor’s Cube“ oder „5×5×5 Cube“ bzw. „Rubiks Wahn“) oder zwei und mehr versetzt ineinander integrierten Würfeln („Rubik’s Fusion“) bestehen. Auch gab es einen 2×3×3-Quader: „Rubiks Magisches Domino“ und einen Dodekaeder: („Megaminx“). Ferner gibt es Rubik-Puzzles in Tonnen- oder Pyramidenform und Bälle, ebenfalls in verschiedenen Schwierigkeitsstufen.

2005 wurde erstmals ein Würfel mit sechs Ebenen präsentiert. Der zugrundeliegende Mechanismus erlaubt auch Würfel mit bis zu elf Ebenen. Diese müssen aber tonnenförmig – die Mitten der Flächen nach außen – verzerrt werden, damit die Befestigung der Ecksteine noch vollständig innerhalb des Würfels liegt. Diese Verzerrung zusammen mit der notwendigen Größe und dem Gewicht werden dem Spieler einiges an Geschick bei der Handhabung abverlangen. Die Lösungsmethoden für diese großen Würfel benötigen keine Züge, die nicht schon vom vier oder fünf Ebenen umfassenden Würfel her bekannt sind.

Seit Juni 2008 sind auch 6x6x6 und 7x7x7 Zauberwürfel auf dem Markt.

Bei Computerprogrammen, die den Zauberwürfel simulieren, lassen sich oft auch noch mehr Ebenen einstellen.

Beim „Rubiks Kalender-Cube“ (Datumswürfel) sind die Flächen mit Zahlen und Texten versehen, aus denen sich auf der Frontfläche das aktuelle Datum mit Wochentag, Monat und Tag zusammenstellen lässt.

In Folge des Booms in den 1980er Jahren tauchten auch mechanische Puzzles auf, denen eine andere Mechanik zu Grunde lag, beispielsweise Rubik’s Magic, die Teufelstonne, Cube 21 (auch bekannt als Square-1), New Generation Magic Cube, Rubik’s Triamid, Rubik’s Clock, Alexander’s Star oder der Zauberturm. Das mechanisch anspruchsvollste Puzzle dieser Art ist wohl das Dogic in Form eines Ikosaeders (Zwanzigflächner).

Literatur

• Matthias Stolz: Die Rückkehr des Zaubers. in Die Zeit vom 15. Jan. 2009 Nr. 04, Leben, Seite 10-15. (online ) Über das Comeback des Zauberwürfels, Personen und den Erfinder des Zauberwürfels. Fotos, Interviews.

Einführungen und Anleitungen

• Douglas R. Hofstadter: Vom Zauber des Zauberwürfels, in Mathematische Spielereien, Spektrum der Wissenschaft, Ausgabe Mai 1981 p. 16ff, Heidelberg (Original: Scientific American, März 1981) ISSN 0170-2971 – enthält u. a. eine Anleitung zur fachgerechten Würfeldemontage, Lösungsstrategie, grafische Muster und Variationen
• Kurt Endl: Rubik’s Rätsel des Jahrhunderts, Würfel-Verlag, Gießen 1981, ISBN 3-923210-15-9
• Josef Trajber: Der Würfel (Rubik’s Cube), Falken, Niedernhausen/Ts. 1981, ISBN 3-8068-0565-2 + ISBN 3-8068-0585-7
• Josef Trajber: Der Würfel für Fortgeschrittene, Falken, Niedernhausen/Ts. 1981, ISBN 3-8068-0590-3
• Tom Werneck: Der Zauberwürfel, Heyne, München 1982, ISBN 3-453-41449-7
• Tom Werneck: Der Zauberwürfel für Könner, Heyne, München 1982, ISBN 3-453-41478-0
• Tom Werneck: Die Zauber-Kugel. Vorwort von Martin Gardner, Heyne, München 1982, ISBN 3-453-41505-1 (von Rubik autorisiertes Lösungsbuch)

Mathematik

Die folgenden Titel befassen sich mit den mathematischen Eigenschaften des Zauberwürfels, enthalten aber auch Anleitungen, die u. U. leichter nachzuvollziehen sind als die informellen Einführungen:

• David Singmaster: Notes on Rubik’s Magic Cube. Hillside/N.J.: Enslow, 1981. (klassische Studie, die 5. und letzte Auflage hat den doppelten Umfang der ersten aus dem Jahr 1979)
• Alexander H. Frey, jr./David Singmaster: Handbook of Cubik Math. Hillside/N.J.: Enslow, 1982. (vielleicht das beste Buch zum Thema)
• Wolfgang Hintze: Der ungarische Zauberwürfel VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1982. (teilweise angelehnt an Singmasters Klassiker)
• Christoph Bandelow: Einführung in die Cubologie. Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1981, ISBN 3-528-08499-5
• Christoph Bandelow: Inside Rubik’s Cube and Beyond. Basel, Boston: Birkhäuser 1982. (erweiterte englische Fassung des Vorgenannten)
• Ernő Rubik, Tamas Varga, Gerzson Keri, Gyorgy Marx, Tamas Vekerdy: Rubik’s Cubic Compendium. English translation by A. Buvös Kocka, with an afterword by David Singmaster. London: Oxford University Press, 1987. (vom Erfinder des Zauberwürfels)
• David Joyner: Adventures in Group Theory: Rubik’s Cube, Merlin’s Machine, and Other Mathematical Toys. Baltimore/Maryland: Johns Hopkins University Press, 2002. (eine Einführung in die Gruppentheorie anhand des Zauberwürfels)

Einzelnachweise

1. ↑ http://digital-law-online.info/cases/229PQ805.htm Gerichtsurteil zur Patentverletzung
2. ↑ Allround-PC.com: CeBIT 2009: Digitale Version des Rubik's Cubes vorgestellt, Nachricht vom 09. März 2009
3. ↑ Korf: Optimal Solutions to Rubik's Cube
4. ↑ Rokicki: Twenty-Two Moves Suffice
5. ↑ DDJ: Neuer Weltrekord: 26 Züge reichen
6. ↑ Universität Mannheim, Seminar Computeralgebra mit GAP: Rubik's Cube
7. ↑ Video des 3x3x3-Weltrekordes von Erik Akkersdijk
8. ↑ http://www.worldcubeassociation.org/results/events.php?eventId=333bf&regionId=&years=&show=100%2BPersons&single=Single
9. ↑ Video des Blindfold-Weltrekordes von Rafael Guzewicz

Weblinks

• Vollständige Lösung für den Zauberwürfel
• Deutsche Videoanleitung
• Weltrekorde mit dem Rubik’s Cube
• Literatur über Zauberwürfel in Bibliothekskatalogen: DNB, GBV