Satz von Kunugui

Der Satz von Kunugui besagt, dass jeder (nichtleere) metrische Raum sich isometrisch in einen Banachraum einbetten lässt.

Formulierung

Sei (X,d) ein metrischer Raum und $s\in X$. Für $x,y\in X$ sei

$f_x(y):=d(x,y)-d(y,s)\in\R$.

Dann ist die Abbildung $x\mapsto f_x$ eine Isometrie von (X,d) in den Banachraum $B(X)=\{f:X\to\R\mid f\text{ beschraenkt}\}$.

Anmerkungen

Das bemerkenswerte am Satz von Kunugui ist die genial einfache Idee, von dem intuitiv einleuchtenden Abstand d(x,y) den Term d(y,s) abzuziehen, und somit die Beschränktheit der Abbildung $f_x:X\to\R$ zu erreichen.

Aus der Tatsache, dass sich ein metrischer Raum (X,d) isometrisch in einen vollständigen Raum einbetten lässt, folgt nicht, dass (X,d) vollständig ist. Dies sieht man daran, dass jeder unvollständige metrische Raum eine Vervollständigung besitzt, die echt größer ist als der ursprüngliche Raum.

Literatur

• Kinjirô Kunugui: Applications des espaces à une infinité de dimensions à la théorie des ensembles. In: Proceedings of the Imperial Academy. 11, 9, 1935, ISSN 0369-9846, S. 351–353, online (PDF; 258 KB).