- Satz von Stolz-Cesaro
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Der Satz von Stolz bzw. Satz von Stolz-Cesàro handelt von Grenzwerten in der Mathematik. Er ist benannt nach dem österreichischen Mathematiker Otto Stolz (1842–1905) und dem italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro (1859–1906).
Inhaltsverzeichnis
Satz
Sind und mit Folgen wobei letztere streng monoton ist und unbeschränkt wächst.
Dann folgt aus der Existenz des Grenzwertes der Differenzenquotienten für
die Existenz des Grenzwerts der Quotienten zum selben Wert, .
Beweis
Nach der Annahme der Konvergenz der Differenzenquotienten existiert für jedes ein , so dass für alle der Differenzenquotient zum Index in der Umgebung liegt. Es gibt also für jedes ein mit
- ;
für gilt .
Summiert man diese Beziehungen nach von bis , so erhält man die Gleichung
- .
Somit gilt für den Quotienten der Folgenglieder
Der erste Summand der rechten Seite konvergiert gegen Null, da die Folge unbeschränkt wächst. Aus demselben Grunde konvergiert der zweite Summand gegen . Aufgrund der Monotonie der Folge gilt für den dritten Summanden
- .
Man kann nun ein finden, so dass für alle auch in den ersten zwei Summanden die Differenz zum Grenzwert durch beschränkt ist, für alle erhält man dann die Abschätzung
- ,
somit konvergiert die Folge der Quotienten gegen .
Zur Umkehrung
Die Umkehrung des obigen Satzes ist im Allgemeinen falsch. Betrachtet man die beiden Folgen
(ak) = (10,10,100,100,1000,1000,...)
(bk) = (10,11,100,101,1000,1001,...)
Dann gilt . Die Folge hat jedoch keinen Grenzwert.
Verallgemeinerung
Gegeben seien zwei weitere Folgen und derart, dass und . Weiterhin sei streng monoton und unbeschränkt wachsend.
Aus
folgt dann
- .
Die oben genannten Voraussetzungen werden erfüllt von
- der harmonischen Reihe , und
- jeder Reihe, deren Glieder einen positiven Grenzwert besitzen, wie , d. h. , oder gar
- jeder Reihe, deren Glieder selbst wachsen, wie , d. h. .
Bemerkungen
Ein Spezialfall ist der Cauchysche Grenzwertsatz.
In gewisser Weise stellt der Satz von Stolz ein Äquivalent für die Grenzwertberechnung bei Folgen zu der Regel von L’Hospital zur Grenzwertberechnung bei differenzierbaren Funktionen dar.
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