Satz von Weyl über Gleichverteilung

Der Satz von Weyl (nach Hermann Weyl) ist die Grundlage für arithmetische Zufallszahlengeneratoren. Er besagt:

Sei $y_0 \in \ ]0, 1[$ eine irrationale Zahl. Dann hat die Folge

$(u_i)_{i \ge1} \subseteq \ ]0, 1[$,

gliedweise definiert durch

$u_i = i y_0 - \lfloor i y_0 \rfloor = i y_0 \ \bmod \ 1$

die asymptotische Gleichverteilungseigenschaft. Für alle $a,b \in \mathbb{R}$ mit 0 < a < b < 1 gilt also:

$\frac{ \left| \{ i | 1 \le i \le n; a \le u_i \le b \} \right| }{n} \quad \xrightarrow[n \rightarrow \infty] \quad \quad b - a$.

Anders gesagt: die Wahrscheinlichkeit, dass ein willkürlich gewähltes Folgenglied in [a,b] liegt, beträgt b − a.