Schleifenlinie

Schleifenlinie

Eine Lemniskate ist die Figur einer liegenden 8 (∞). Diese Figur ist als Symbol für Unendlichkeit und Unbegrenztheit bekannt. Mit dem Begriff "Lemniskate" wird jedoch meist nicht das Unendlichkeitssymbol, sondern eine geometrisch definierte Lemniskatenkurve bezeichnet. Die bekannteste dieser Kurven ist die Lemniskate von Bernoulli.

Lemniskate
Konstruktion einer Lemniskate durch einen Lemniskatenlenker

Die Lemniskate von Bernoulli (benannt nach dem schweizerischen Mathematiker Jakob Bernoulli) ist eine spezielle ebene Kurve, genauer gesagt eine algebraische Kurve 4. Ordnung. Sie hat die Form einer liegenden Acht und ist ein Spezialfall der Cassinischen Kurven.

Inhaltsverzeichnis

Gleichungen der Lemniskate von Bernoulli

  • Kartesische Koordinaten: \left(x^2 + y^2 \right)^2 - 2 a^2 \left(x^2 - y^2 \right) \, = \, 0
  • Polarkoordinaten: r = a \sqrt{2 \cos(2\varphi)}
  • Parametergleichung: x = a \cos t \sqrt{2 \cos (2t)}; \qquad y = a \sin t \sqrt{2 \cos (2t)}

Der Parameter a beschreibt den Abstand vom Koordinatenursprung zu den Punkten F1 und F2. Die Strecke von F1 zu F2 beträgt somit 2a.

Eigenschaften der Lemniskate von Bernoulli

  • Die folgende geometrische Eigenschaft kann zur Definition der Kurve herangezogen werden: Gegeben seien eine positive reelle Zahl a und zwei Punkte F1 und F2, die voneinander die Entfernung 2a haben. Dann gilt für alle Punkte P der Lemniskate die Eigenschaft
\overline{F_1 P} \cdot \overline{F_2 P} = a^2

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze.

  • Die Lemniskate von Bernoulli ist achsensymmetrisch bezüglich der x-Achse und der y-Achse und punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs. Auf der x-Achse liegen neben dem Ursprung die Kurvenpunkte (a \sqrt{2}|0) und (-a \sqrt{2}|0).
  • Die beiden von der Lemniskate eingeschlossenen Flächen haben jeweils den Flächeninhalt a2.

Bogenlänge der Lemniskate

Die Bogenlänge der Lemniskate hängt von a ab und kann mit dem von Giovanni Fancesco Fagnano um 1750 untersuchten elliptischen Integral

F(x) = \int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}

berechnet werden. Die Bogenlänge der gesamten Lemniskate ergibt sich zu a\sqrt{2}\int_{-1}^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}} = 2a\sqrt{2}F(1), oder mit der im Jahr 1798 von Carl Friedrich Gauss eingeführten lemniskatische Konstante \varpi := 2\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}} = 2,62205755429211981… ausgedrückt a\sqrt{2}\varpi also etwa 3,708a.

Andere Lemniskaten

Technische Anwendung

Anwendung findet die Lemniskate als Wattsches Parallelogramm bzw. Wattgestänge oder auch in der Lemniskatenanlenkung eines Eisenbahnradsatzes. Hierbei bewegt sich der Radsatz vertikal entsprechend der Bahn einer Lemniskate.

Symbolik der Freimaurer

Verwendung der Lemniskate als Symbol in der Freimaurerei: Die auch mit der Zwölfknotenschnur oder auch Vereinigungsband (Liebesseil) im Zusammenhang stehende Lemniskate ist u. a. ein Zeichen für die sog. weltweite Bruderkette. Sie findet sich auf den sog. Arbeitsteppichen während der Tempelarbeiten der Johannislogen der Freimaurer. (Siehe auch: Acht, Endacht)

Literatur

  • Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49324-2

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