Schwebungsfrequenz

Als Schwebung bezeichnet man die Resultierende der additiven Überlagerung (Superposition) zweier Schwingungen, die sich in ihrer Frequenz nur wenig voneinander unterscheiden. Schwebungen treten bei allen Wellen auf, für die das Superpositionsprinzip gilt, also beispielsweise Schallwellen und elektromagnetischen Wellen; siehe Differenztonfaktor. Kurz gesagt ist eine Schwebung eine Schwingung mit periodisch veränderlicher Amplitude. Sie entsteht durch Überlagerung von Schwingungen mit ähnlichen Frequenzen, f₁ muss ungefähr f₂ sein.

Akustik

In der Akustik ist die Schwebung deutlich zu hören: Erklingen zwei Töne, deren Frequenzen sich nur wenig unterscheiden, so ist ein Ton zu hören, dessen Frequenz dem Mittelwert der Frequenzen der beiden überlagerten Töne entspricht. Dieser Ton ist moduliert, seine Lautstärke schwankt mit der sogenannten Schwebungsfrequenz, die der Differenz der Frequenzen der beiden Töne entspricht.

Übersteigt der Frequenzunterschied etwa fünf Prozent, vernimmt man einen Ton rauer Klangfärbung, der sich bei weiterer Vergrößerung der Frequenzdifferenz in zwei Einzeltöne aufspaltet.

Als kritische Bandbreite wird derjenige Bereich um eine Tonfrequenz f₀ bezeichnet, innerhalb dessen die Frequenz eines zweiten Tones liegen muss, damit ein rauer oder schwebender Ton statt zwei getrennter Töne wahrgenommen wird. Die Größe der kritischen Bandbreite hängt von der Frequenz f₀ ab: Je kleiner die Frequenz f₀ ist, desto größer ist die kritische Bandbreite.

 Klangbeispiel^?/i: Dem Grundton von 440 Hz ist ein zweiter Ton überlagert, dessen Frequenz von 440 Hz auf 490 Hz ansteigt.

Mathematische Beschreibung

Beispiel einer Schwebung zweier Frequenzen

In der folgenden Berechnung ist:

• f₁ die Frequenz der Sinus-Schwingung 1,
• f₂ die Frequenz der Sinus-Schwingung 2,
• $\hat{y}_{1,2}$ die Amplitude der einzelnen Schwingungen (gleich für 1 und 2),
• t der Zeitpunkt,
• π die Kreiszahl, $\pi \approx 3{,}141592654$
• y_R die resultierende Summenschwingung,
• $\hat{y}$ ihre Amplitude,
• f_R ihre Frequenz,
• f_S die Frequenz einer cosinusförmigen Schwingung, welche die Schwebungsfunktion y_R einhüllt,
• f_Schwebung die Schwebungsfrequenz.

Man betrachte zwei gleichgerichtete harmonische Schwingungen mit leicht unterschiedlichen Frequenzen

$y_1(t) = \hat{y}_1 sin(2 \pi f_1 t)$

$y_2(t) = \hat{y}_2 sin(2 \pi f_2 t).$

Zur Vereinfachung sei angenommen, dass beide Schwingungen dieselbe Amplitude haben.

$\hat{y}_1 = \hat{y}_2 = \hat{y}$

Dann kann die Summenschwingung so dargestellt werden:

$y_\mathrm{R} = \hat{y}\left(\sin \left(2\pi f_1t\right) + \sin\left(2\pi f_2t\right)\right) \,$.

Dieser Ausdruck kann durch Anwendung der Additionstheoreme umgeformt werden in die folgende Formel:

$y_\mathrm{R} = 2\hat{y}\sin\!\left(2\pi \frac{f_1 + f_2}{2} t\right)\cdot \cos\!\left(2\pi \frac{f_1 - f_2}{2} t\right)$

Die letzte Formel besagt, dass die Frequenz der Überlagerungsschwingung die mittlere Frequenz der beiden Teilschwingungen ist (entspricht dem Sinus-Glied der Formel, siehe f_R unten) und dass die resultierende Amplitude sich zeitlich ändert (dies wird durch das Kosinus-Glied ausgedrückt, siehe f_S und f_Schwebung unten). Es gilt:

$f_\mathrm{R} = \frac{f_1 + f_2}{2}$

Für f_S findet man den Ausdruck f_S = (f₁ − f₂) / 2 - dieses ist die Frequenz, die sich rechnerisch aus dem Kosinus-Glied ergibt. Da es für die Umhüllende der Überlagerungsschwingung (d.h. für die hörbare Amplitudenschwankung) egal ist, ob sich der Kosinus im plus- oder minus-Bereich befindet, ist die hörbare Frequenz der Lautstärkeänderung doppelt so groß. Diese so genannte Schwebungsfrequenz ist definiert als

$f_\mathrm{Schwebung} = \left| f_1 - f_2 \right|$

und ihr Betrag ist wesentlich kleiner als f_R. Die sich daraus ergebende Schwebungsperiode

$T_\mathrm{Schwebung} = \frac{1}{f_\mathrm{Schwebung}}$

ist der zeitliche Abstand zwischen zwei Punkten minimaler Amplitude (Knoten) der Schwebungsfunktion y_R.

Unreine Schwebung

Sind die Amplituden der beiden beteiligten Schwingungen nicht gleich, dann spricht man von der so genannten Unreinen Schwebung. Bei dieser ist das entsprechende Kosinus-Glied anders ausgebildet, und es treten keine Stilleperioden (wenn die resultierende Amplitude der reinen Schwebung durch Null geht) auf. Des Weiteren schwankt die Schwingungsdauer, anders ausgedrückt, die resultierende Frequenz (das Sinus-Glied oben) ist nicht konstant.

Weitere Klangbeispiele

Um das Verständnis der akustischen Schwebung etwas zu erleichtern, finden sich hier vier beispielhafte unterschiedliche Schwingungen. Alle besitzen dieselbe Startfrequenz, sie unterscheiden sich jedoch in ihrer Wellenform: Dreieck, Rechteck, Sägezahn, Sinus

•  Dreieckschwingung^?/i
•  Rechteckschwingung^?/i
•  Sägezahnschwingung^?/i
•  Sinusschwingung^?/i

In allen vier Klangbeispielen wurden zwei Schwingungen überlagert. Ab Sekunde 4 wurde begonnen, eine dieser Schwingungen langsam in der Frequenz zu erhöhen und sie dann wieder um das Doppelte zu reduzieren. Einen exakten Verlauf stellt folgendes Diagramm dar:

Frequenzverlauf einer Schwingung aus den obigen vier Beispielen. Die andere Schwingung bleibt konstant, und wurde daher nicht eingezeichnet

Anwendungen

Das Phänomen der Schwebung kann vielseitig angewendet werden. In der Musizierpraxis wird sie als

• belebender Klangeffekt bei Musikinstrumenten beispielsweise als zuschaltbarer sogenannter Tremoloeffekt oder als spezielles Register in Pfeifenorgeln eingesetzt.
• Das Leslie Lautsprecher-Kabinett verwendet den Doppler-Effekt zur Erzeugung der Schwebung. Hierbei wird der konstante Originalton mit einem in der Tonhöhe vibrierenden Ton überlagert.
• Bei Tremoloharmonikae (Wiener Stimmung) und bei einem Register am Akkordeon erfolgt die Tonerzeugung mit zwei Durchschlagzungen, die in einer Schwebung gestimmt sind.
• Das Stimmen eines Musikinstruments nach Gehör (ohne Stimmgerät mit optischer Anzeige), also das eigentliche Einstimmen auf den Kammerton als Referenzfrequenz, erfolgt solange, bis keine Schwebung mehr zu hören ist: Der Ton ist „schwebungsnull - er stimmt“ .
• Die Tonharmonie des Bambus-Instruments Angklung basiert auf dem Prinzip von zwei bis vier in Schwebung befindlicher Klangkörper (Bässe, Melodieinstrumente und Akkorde), die gleichzeitig geschüttelt werden.

Unangenehm störend wird die Schwebung hingegen, wenn zwei Instrumente mit annähernd sinusförmigen Tönen (Flöten) eng benachbarte Töne spielen - man sagt, die Töne reiben sich.

Mit zwei elektrischen Schwingkreisen können Systeme gebaut werden, die folgenden Effekt nutzen: Ein Schwingkreis erzeugt eine (manuell justierbare,) feste Referenzfrequenz. Ein zweiter Schwingkreis wird über seine Dipolantenne in seiner Frequenz beeinflusst. Beide Frequenzen werden überlagert, die daraus resultierende Schwebung wird weiterverarbeitet. Dies kann wie bei dem

• Theremin ein durch Handbewegungen beeinflusstes Musikinstrument sein.
• Bei Metallsuchgeräten beeinflusst Metall einer bestimmten Masse die Frequenzen,
• bei Überwachungsanlagen mit Bewegungsmeldern wird beispielsweise durch Annäherung eines Menschen das Signal eines Wärmesensors als Stellglied im veränderbaren Schwingkreis ausgenutzt.

Siehe auch

• Ondes Martenot
• Schwebungssummer
• Interferenz
• Gekoppelte Pendel
• akustische Täuschung
• Moiré-Effekt

Weblinks

• Darstellung der Schwebung mit zwei variablen Grundfrequenzen
• SweepGen ist ein Programm, mit dem man mit dem Computer Schwebungen erzeugen kann (engl.)