Sequential Probability Ratio Test

Einleitung

Statt mit einem festen Stichprobenumfang einen statistischen Test durchzuführen, wird beim Sequential Probability Ratio Test (SPRT) nach jeder gemachten Beobachtung aufgrund aller bisher erfassten Daten getestet, ob eine Entscheidung für oder wider der Nullhypothese getroffen werden kann. Sollte dies nicht der Fall sein wird die Beobachtung solange fortgesetzt bis diese Entscheidung getroffen werden kann.

Geschichte

Entwickelt wurde der SPRT von A. Wald 1942 in den USA. Anwendung fand es vor allem in der Rüstungsindustrie, sodass eine allgemeinzugängliche Publikation erst 1947 erfolgte.

Definition

Untersucht wird die Realisation einer Zufallsgröße mit der Verteilung f(x;θ) und dem unbekannten Parameter θ. Es wird dabei die Nullhypothese H₀:θ = θ₀ gegen die Alternativhypothese H₁:θ = θ₁ getestet. Dabei soll H₀ mit höchstens α und H₁ mit höchstens β als Irrtumswahrscheinlichkeit abgelehnt werden.

Der SPRT ist definiert durch den Likelihood Quotienten $\mathfrak{L}=\prod_{i=1}^n \frac{f(x;\theta_1)}{f(x;\theta_0)}$ als Teststatistik und den Entscheidungsgrenzen A und B.

Für die Teststatistik gelten folgende Entscheidungsregeln:

• Fortsetzung der Beobachtung, wenn gilt: $B<\mathfrak{L}<A$
• Annahme von H₁, wenn gilt: $\mathfrak{L}\ge A$
• Annahme von H₀, wenn gilt: $\mathfrak{L}\le B$

Die Entscheidungsgrenzen

Die Festlegung von A und B muss derart gestaltet sein, das α und β eingehalten werden. Dies ist der Fall, falls:

$A=\frac{1-\beta}{\alpha}$

$B=\frac{\beta}{1-\alpha}$

Die Wahrscheinlichkeit P₁(θ) die untere Grenze zu erreichen bzw zu überschreiten wird durch die Operating Characteristic Function angegeben. Die Wahrscheinlichkeit P₀(θ) die Alternativehypothese anzunehmen, und somit die obere Grenze zu überschreiten wird durch die Powerfunktion beschrieben. Dabei gilt das P₀(θ) + P₁(θ) = 1.

Beispiel

Als Beispiel soll die Herleitung des SPRT für einen 1-Stichprobenvergleich bei binären Daten dienen.

In einer klinischen Studie wird eine neues Medikament in einer Phase II Studie getestet. Dabei soll die Studie abgebrochen werden, sobald der Anteil an Patienten mit Nierenversagen innerhalb der ersten 24 Stunden ≥ 25% ist. Ein Anteil von 10% ist normal und annehmbar. Die vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeiten sind α und β.

Nach dem i.ten Patienten, liegen y Beobachtungen mit und i-y Beobachtungen ohne Nierenversagen vor. Entsprechend dem Binomialkoeffizienten ist $\mathfrak{L}=\frac{{\tau_1}^y(1-\tau_1)^{i-y}}{{\tau_0}^y(1-\tau_0)^{i-y}}$.

Den Fortsetzungsbereich des SPRT erhält man nun durch logarithmieren und umformen:

$\frac{\ln{( \frac{\beta}{1-\alpha}})} {\ln{( \frac{\tau_1(1-\tau_0)}{\tau_0(1-\tau_1)})}}+ i* { \frac { \ln {( \frac {1-\tau_0} {1-\tau_1} )} } { \ln {( \frac {\tau_1(1-\tau_0)} {\tau_0(1-\tau_1)} )} } } <y< \frac{\ln{( \frac{1-\beta}{\alpha}})} {\ln{( \frac{\tau_1(1-\tau_0)}{\tau_0(1-\tau_1)})}}+ i* { \frac { \ln {( \frac {1-\tau_0} {1-\tau_1} )} } { \ln {( \frac {\tau_1(1-\tau_0)} {\tau_0(1-\tau_1)} )} } }$

Bei τ₀ = 0.1,τ₁ = 0.25,α = 0.001,β = 0.2 ergibt sich − 1,46 + 0,1659 * i < y < 6,08 + 0,1659 * i als Fortsetzungsbereich.

Literatur

• Wald, A: Sequential Analysis John Wiley& Sons, Inc., New York, London, Sydney 1947
• Bauer, P: Sequentielle statistische Verfahren Gustav Fischer Verlag, Stuttgart, New York, 1986