Signiertes Mass

Signiertes Maß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es ist wie das Maß eine auf den Mengen einer σ-Algebra definierte Funktion und unterscheidet sich von diesem nur darin, dass auch negative Werte zugelassen sind. Das signierte Maß stellt somit eine Verallgemeinerung des Maßbegriffs dar.

Definition

Sei $(X,\mathcal{A})$ ein Messraum.

Eine Mengenfunktion ν von $\mathcal{A}$ nach $[-\infty, +\infty)$ oder $(-\infty, +\infty]$ heißt signiertes Maß, wenn

$\nu(\emptyset) = 0$

und

$\nu\left(\bigcup_{i \geq 1}A_i\right) = \sum_{i \geq 1} \nu(A_i)$ für disjunkte Mengen A_i (σ-Additivität)

gilt.

Jordansche Zerlegung

Im jordanschen Zerlegungssatz wird gezeigt, dass sich ein signiertes Maß ν als Differenz von zwei (nichtsignierten) Maßen ν ⁺ und ν ⁻ darstellen lässt, also ν = ν ⁺ − ν ⁻ .

Das durch | ν | : = ν ⁺ + ν ⁻ definierte Maß heißt Variation von ν. Für ein festes Maß ν nennt man die Zahl $\|\nu\|\colon=|\nu|(X)$ Totalvariation des Maßes.

Die endlichen signierten Maße vervollständigen die Menge der endlichen Maße zu einem normierten Vektorraum, dessen Norm die Totalvariation ist. Dieser Raum ist sogar ein Banachraum.

Absolute Stetigkeit

Sei μ ein Maß und ν ein signiertes Maß, dann heißt ν absolut stetig bezüglich μ, symbolisch $\nu \ll \mu$, wenn

$\mu(A) = 0 \Rightarrow |\nu|(A) = 0$

gilt.

Anwendungen

Mit signierten Maßen lassen sich zum Beispiel Verteilungen von positiven und negativen Ladungen in einem Stoff modellieren.

Komplexe Maße

Komplexe Maße sind komplexwertige, endliche, σ-additive Funktionen, die auf der σ-Algebra $\mathcal{A}$ definiert sind.

Siehe auch

• Spektralmaß
• Satz von Radon-Nikodym