- Simpsonsche Regel
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Die Simpsonregel (auch simpsonsche Formel) ist ein Verfahren der numerischen Quadratur, bei dem eine Näherung zum Integral einer Funktion f(x) im Intervall [a,b] berechnet wird, indem man die Kurve f(x) durch eine Parabel annähert. Die Formel wurde erstmals benutzt von Evangelista Torricelli, ist aber benannt nach dem englischen Mathematiker Thomas Simpson. Sie ist die allgemeine Formulierung der Keplerschen Fassregel, die Johannes Kepler schon 200 Jahre früher aufstellte.
Die Parabel wird als Interpolationspolynom durch Funktionswerte an den Stellen gelegt. Das Integral nähert man dann durch das Integral der Parabel an.
Inhaltsverzeichnis
Die Formel
Mit der obigen Definition ergibt sich dann
Darstellung als Runge-Kutta-Verfahren
Die Simpsonregel lässt sich auch als Runge-Kutta-Verfahren darstellen, und zwar mit dem Butcher-Schema
Restglied
Ist f(x) viermal stetig differenzierbar in [a,b], dann gilt für den Fehler E(f) die Abschätzung
Ist f(x) zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle ζ aus [a,b] für das Restglied
Diese Restglieddarstellung wurde 1887 von Giuseppe Peano gefunden.
Summierte simpsonsche Formel
Um das Integral noch besser annähern zu können unterteilt man das Intervall [a,b] in N nebeneinanderliegende, gleich große Teilintervalle der Länge h. In jedem Teilintervall wendet man die simpsonsche Formel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte oder zusammengesetzte Simpsonregel
- mit
Man sieht leicht einen Zusammenhang mit der Sehnentrapezformel QS(f) und der Tangententrapezformel QT(f):
Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet nun
beziehungsweise für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle ζ aus dem Intervall [a,b]
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