Simpsonsche Formel

Die Simpsonregel (auch simpsonsche Formel) ist ein Verfahren der numerischen Quadratur, bei dem eine Näherung zum Integral einer Funktion f(x) im Intervall [a,b] berechnet wird, indem man die Kurve f(x) durch eine Parabel annähert. Die Formel wurde erstmals benutzt von Evangelista Torricelli, ist aber benannt nach dem englischen Mathematiker Thomas Simpson. Sie ist die allgemeine Formulierung der Keplerschen Fassregel, die Johannes Kepler schon 200 Jahre früher aufstellte.

Simpsonsche Formel

Die Parabel wird als Interpolationspolynom durch Funktionswerte an den Stellen $a, b, m=\tfrac{(a+b)}2$ gelegt. Das Integral nähert man dann durch das Integral der Parabel an.

Die Formel

Mit der obigen Definition ergibt sich dann

$Q(f) = \frac{b-a}{6} \cdot \left( f(a)+4f \left( \frac{a+b}{2} \right)+f(b) \right).$

Darstellung als Runge-Kutta-Verfahren

Die Simpsonregel lässt sich auch als Runge-Kutta-Verfahren darstellen, und zwar mit dem Butcher-Schema

$\begin{array}{c|ccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0\\ 1 & -1 & 2 & 0\\ \hline & \frac{1}{6} & \frac{4}{6} & \frac{1}{6} \end{array}.$

Restglied

Ist f(x) viermal stetig differenzierbar in [a,b], dann gilt für den Fehler E(f) die Abschätzung

$\left| E(f) \right| \le \frac{(b-a)^5}{2880} \max_{a\le x \le b} {\left| f^{(4)}(x) \right|}.$

Ist f(x) zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer Zwischenstelle ζ aus [a,b] für das Restglied

$E(f) = - \frac{(b-a)^5}{2880}{{f^{(4)}(\zeta)}}.$

Diese Restglieddarstellung wurde 1887 von Giuseppe Peano gefunden.

Summierte simpsonsche Formel

Um das Integral noch besser annähern zu können unterteilt man das Intervall [a,b] in N nebeneinanderliegende, gleich große Teilintervalle der Länge h. In jedem Teilintervall wendet man die simpsonsche Formel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte oder zusammengesetzte Simpsonregel

$Q(f)=\frac h3 \cdot \left( \frac 12 f(x_0)+\sum_{k=1}^{N-1}f(x_k)+2\sum_{k=1}^{N}f \left( \frac{x_{k-1}+x_k}2 \right)+\frac 12 f(x_N) \right)$

mit $h = \frac{b-a}{N}, \ x_k=a+k\cdot h.$

Man sieht leicht einen Zusammenhang mit der Sehnentrapezformel Q_S(f) und der Tangententrapezformel Q_T(f):

$Q(f)=\frac 13 \Big( Q_S(f)+2Q_T(f) \Big).$

Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet nun

$\left| E(f) \right| \le \frac{(b-a)}{2880}h^4 \max_{a\le x \le b} {\left| f^{(4)}(x) \right|}$

beziehungsweise für reellwertige Funktionen mit einer Zwischenstelle ζ aus dem Intervall [a,b]

$E(f)=-\frac{(b-a)}{2880}h^4f^{(4)}(\zeta).$