Smith-Zahlen

Smith-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen, für welche die Ziffernsumme zu einer gegebenen Basis gleich der Summe der Ziffern in ihrer Primfaktorzerlegung ist. (Falls die Zahl nicht quadratfrei ist, wird die Primfaktorzerlegung ohne Exponenten angegeben, und ein Faktor in der Produktdarstellung so oft wie nötig wiederholt.) Zum Beispiel ist 378 = 2 × 3 × 3 × 3 × 7 eine Smith-Zahl zur Basis 10, da 3 + 7 + 8 = 2 + 3 + 3 + 3 + 7. Es ist zu beachten, dass die Zahlen in der Primfaktorzerlegung als einzelne Ziffern gelesen werden. Zum Beispiel ergeben sich für 22 = 2 × 11 drei Ziffern: 2, 1, 1. Also ist 22 eine Smith-Zahl, da 2 + 2 = 2 + 1 + 1.

Die ersten Smith-Zahlen zur Basis 10 lauten:

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086 Folge A006753 in OEIS

W.L. McDaniel bewies 1987, dass unendlich viele Smith-Zahlen existieren. ^[1]

Unter der ersten Million natürlicher Zahlen befinden sich 29.928 (oder etwa 2,99%) Smith-Zahlen, wohingegen nur etwa 2,41% der Zahlen unter 10¹⁰ Smith-Zahlen sind.

Zwei aufeinanderfolgende Smith-Zahlen (zum Beispiel 728 und 729, oder 2964 und 2965) werden Smith-Brüder genannt. Es ist unbekannt, wie viele Smith-Brüder existieren. Der kleinste Smith-Drilling ist 73615, 73616, 73617, der kleinste Vierling (4463535, 4463536, 4463537, 4463538).^[2]

Smith-Zahlen lassen sich aus Repunits konstruieren. Die größte bekannte Smith-Zahl lautet:

9 × R₁₀₃₁ × (10⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10 + 1)¹⁴⁷⁶ × 10^3913210

wobei R₁₀₃₁ = (10¹⁰³¹−1)/9.

Die Smith-Zahlen erhielten ihren Namen von Albert Wilansky an der Lehigh Universität. Er bemerkte die Eigenschaft an der Telefonnummer seines Schwagers Harold Smith. 4937775 = 3 × 5 × 5 × 65837, und 4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42

Einzelnachweise

1. ↑ Wayne McDaniel: The existence of infinitely many k-Smith numbers. In: Fibonacci Quarterly. 25, Nr. 1, 1987, S. 76–80
2. ↑ http://www.shyamsundergupta.com/smith.htm

Literatur

• Martin Gardner: Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, S. pp. 299–300 1988

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Smith Number auf MathWorld (englisch)
• Shyam Sunder Gupta, Fascinating Smith numbers.