Spin-Gruppe

Ein Spinor ist in der Mathematik, und dort speziell in der Differentialgeometrie, ein Vektor in einer kleinsten Darstellung (ρ,V) einer Spin-Gruppe. Die Spin-Gruppe ist isomorph zu einer Teilmenge einer Clifford-Algebra, jede Clifford-Algebra ist isomorph zu einer Teil-Algebra einer reellen, komplexen oder quaternionischen Matrix-Algebra. Diese hat eine kanonische Darstellung durch Spaltenvektoren, die Spinoren.

Ein Spinor ist in der Physik meist ein Vektor einer 2-dimensionalen komplexen Darstellung der Spin-Gruppe Spin(1,3), die zur Gruppe der Lorentz-Transformationen SO(1,3) des Minkowski-Raums gehört. Wichtig ist hier vor allem das Drehverhalten.

Spinoren der Quantenphysik

Struktur der Gruppe Spin(1,3)

Die Gruppe Spin(1,3) ist eine Teilmenge des geraden Teils Cℓ⁰(1,3) der Clifford-Algebra Cℓ(1,3). Die gesamte Algebra wird von den 4 kanonischen Basisvektoren e₀,e₁,e₂,e₃ des 4-dimensionalen Minkowski-Raums M⁴ mit quadratischer Form (in Koordinaten dieser Basis) $Q(\vec x)=(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2$ erzeugt. Dementsprechend antikommutieren die Produkte verschiedener Basisvektoren, für ihre Quadrate gilt v²=-Q(v), also (e₀)² = -1, (e₁)² = (e₂)² = (e₃)² = 1.

Die Unteralgebra Cℓ⁰(1,3) der geraden Elemente wird erzeugt von zweifachen Produkten, die e₀ enthalten, :f₁:=e₀e₁, :f₂:=e₀e₂, :f₃:=e₀e₃. Diese antikommutieren ebenfalls, ihre Quadrate haben den Wert 1.

Die fehlenden zweifachen Produkte bilden eine „doppelt gerade“ Unteralgebra, die von geraden Produkten der f_k erzeugt wird:

g₁:=-f₂f₃ =-e₂e₃

g₂:=-f₃f₁ =-e₃e₁

g₃:=-f₁f₂ =-e₁e₂

Die von den g_k erzeugte Unteralgebra ist isomorph zur Algebra der Quaternionen. Mit Rücksicht auf die Pauli-Matrizen identifizieren wir g₁=j; g₂=k; g₃=i, genaueres weiter unten.

Unter den Basisvektoren der geraden Unteralgebra fehlt noch das Volumenelement

ω = e₀e₁e₂e₃ = -f₁g₁ = -f₂g₂ = -f₃g₃.

Dieses kommutiert mit der gesamten geraden Unteralgebra, es gilt ω²=-1.

Isomorphe Matrixalgebra

Es ist leicht zu sehen, dass (ω,g₁,g₂) die gerade Unteralgebra erzeugen und dass der ungerade Teil der Algebra als Cℓ¹(1,3)=e₀Cℓ⁰(1,3) zu erhalten ist. Insgesamt gilt:

• (ω,e₀) und (g₁,g₂) erzeugen jeweils zu den Quaternionen isomorphe Unteralgebren,
• diese Unteralgebren kommutieren miteinander und
• spannen zusammen die gesamte Algebra auf.

Dies liefert den Isomorphismus φ

$C\ell (1,3)\simeq \mathbb H\otimes_{\mathbb R}\mathbb H$,

der eingeschränkt einen Isomorphismus

$C\ell^0(1,3)\simeq \mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb H$

ergibt.

Es sei im folgenden immer ℂ=ℝ[i], wobei i eine imaginäre Einheit der Quaternionen ist. Dann kann der Isomorphismus wie folgt definiert werden:

φ(ω):=i⊗1, φ(e₀):=k⊗1,

φ(g₁):=1⊗j, φ(g₂):=1⊗k, φ(g₃):=1⊗i.

Als Folge daraus ergeben sich mit f_k = ωg_k und e_k = -e₀f_k

φ(f₁):=i⊗j, φ(f₂):=i⊗k, φ(f₃):=i⊗i,

φ(e₁):=-j⊗j, φ(e₂):=-j⊗k, φ(e₃):=-j⊗i.

Darstellung in den Quaternionen, Majorana-Spinoren

Es gibt einen Isomorphismus $\rho:\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\mathbb H\to \mbox{Hom}_{\mathbb R}(\mathbb H,\mathbb H)$, der einem Tensorprodukt a⊗b die Abbildung $x\mapsto\rho(a\otimes b)(x):=bx\bar a$ zuordnet. Damit ist $\rho_M:=\rho\circ\phi$ eine quaternionisch eindimensionale oder reell vierdimensionale Darstellung der gesamten Clifford-Algebra. Als letzteres hat sie den Namen Majorana-Spinor-Darstellung, nach Ettore Majorana.

Darstellung in den komplexen Zahlen, Weyl-Spinoren

Wir definieren eine bijektive Abbildung $S:\mathbb C^2\to\mathbb H$ als $S(z^1,z^2):=\mathfrak k\,\bar z^1+\bar z^2$. Diese Abbildung ist reell linear und komplex rechts antilinear, d. h. $S(wz^1,wz^2):=S(z^1,z^2)\bar w$. Sei θ: = S ^{− 1} die Koordinatenabbildung. Damit definieren wir

$\rho_W:C\ell^0(1,3)\to M_2(\mathbb C)$, durch $\rho_W(c)(z^1,z^2):=(\theta\circ\rho_M(x)\circ S)(z^1,z^2)$,

d. h. einem Element φ(c)=w⊗q aus $\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb H$ wird die Abbildung, die durch

$\rho(w\otimes q)(S(z^1,z^2))=qS(z^1,z^2)\bar w=qS(z^1w,z^2w)$

gegeben ist, zugeordnet. Dabei ist z. B.

$\rho_W(\mathbf f_1)(z^1,z^2) = \theta(\rho(-\mathfrak{i}\otimes\mathfrak{j})(S(z^1,z^2)) = \theta(\mathfrak{jk}\bar{z^1}\mathfrak{i}+\mathfrak{j}\bar{z^2}\mathfrak{i}) = (-z^2,-z^1)$.

Die Matrix dieser Abbildung ist die erste Pauli-Matrix σ₁, analog gilt f₂↦σ₂ und f₃↦σ₃.

Somit ist ρ_W eine komplex zweidimensionale Darstellung der geraden Unteralgebra und damit auch der Spin(1,3)-Gruppe. Diese Darstellung von $C\ell^0(1,3)$ heißt Weyl-Spinor-Darstellung, nach Hermann Weyl (siehe auch: Pauli-Matrizen).

Zu dieser gibt es eine konjugierte Darstellung $\bar\rho_W(c)(z):=(\bar\theta\circ\rho_M(x)\circ \bar S)(x)$, wobei $\bar S(z_1,z_2)=jS(z_1,z_2)=\bar z^1j-\bar z^2$

Dirac-, Weyl- und Majorana-Spinoren

Eine treue Darstellung ist eine Einbettung der Algebra in eine Matrixgruppe, oder generell in die Endomorphismengruppe eines Vektorraums. Dabei sollen Elemente der Spin-Gruppe auf orthogonale oder unitäre Matrizen abgebildet werden.

Dazu folgendes Lemma: Sind A, B selbstadjungierte unitäre Abbildungen auf V mit A²=B²=I und AB=-BA, so zerfällt V in isomorphe, zueinander orthogonale Unterräume V₊:=ker(I-A) und V_-:=ker(I+A)=BV₊. Das Tripel (V,A,B) lässt sich isomorph abbilden auf

$V=\mathbb K^2\otimes V_+$, $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\otimes I_+$, $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\otimes I_+$

I₊ ist die Identität auf V₊. Das auftretende Tensorprodukt kann hier auch als das Kronecker-Produkt von Matrizen aufgefasst werden.

Weyl-Spinoren

Eine Weyl-Spinor-Darstellung, nach Hermann Weyl, ist eine kleinste komplexe Darstellung von Spin(1,3). Diese ist gleichzeitig auch die kleinste komplexe Darstellung der geraden Unteralgebra Cℓ⁰(1,3).

Angenommen, wir hätten eine komplexe Darstellung (ρ,V) von Cℓ⁰(1,3) in einen hermiteschen Vektorraum V vorliegen. Dabei sind die Bilder ρ(f_k) (der Kürze wegen lassen wir im weiteren das ρ weg) unitäre, selbstadjungierte Abbildungen von V in sich.

A:=f₃ und B:=f₁ erfüllen die Voraussetzungen des Lemmas, wir können also zu einer isomorphen Darstellung

$V=\mathbb C^2\otimes V_+$ mit $\mathbf f_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \otimes I_+$ und $\mathbf f_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \otimes I_+$

übergehen.

Um die Gestalt von f₂ einzuschränken, betrachten wir das Produkt f₁f₂ und stellen fest, dass aufgrund der Vertauschungsregeln

(f₁f₂)f₃ = f₃(f₁f₂) und (f₁f₂)f₁ = − f₁(f₁f₂)

sich folgende Gestalt zwingend ergibt

$\mathbf f_1\mathbf f_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \otimes \mathbf g_{12}$ mit $(\mathbf g_{12})^2=-1$.

Da der Vektorraum V₊ komplex ist, können wir ihn in zueinander orthogonale Unterräume V₊₊ und V_+- aufspalten, auf welchen g₁₂ wie i oder -i wirkt. Beide Unterräume ergeben separate Darstellungen, die jeweils minimalen sind zueinander komplex konjugiert, die Matrizen sind die schon genannten Pauli-Matrizen, denn wenn g₁₂=i, so ist

$\mathbf f_2=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} \otimes I_{+}$.

Im minimalen Fall ist V₊₊=ℂ, V_+-={0} oder umgekehrt. Es gibt also zwei konjugierte Weyl-Spinor-Darstellungen.

Anwendung: siehe Weyl-Gleichung

Dirac-Spinoren

In der Quantenelektrodynamik bzw. Atiyah-Singer-Indextheorie wird der Dirac-Operator definiert. Das „wie“ ist nicht wichtig, nur, dass eine Darstellung der gesamten Clifford-Algebra benötigt wird. Die Dirac-Spinor-Darstellung, nach Paul Dirac, ist die kleinste komplexe Darstellung von Cℓ(1,3).

Ist eine solche komplexe Darstellung gegeben, so können wir wie oben die Darstellung der geraden Unteralgebra analysieren. Um auch den ungeraden Teil zu bestimmen, betrachten wir das Bild von e₁. Es kommutiert mit f₃ und antikommutiert mit f₁, wie oben stellen wir fest, dass

$\mathbf e_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \otimes \mathbf g_{1}$ mit $(\mathbf g_{1})^2=1$.

Man überzeugt sich, dass g₁ die Unterräume V₊₊ und V_+- vertauscht, wir können also die Darstellung durch eine noch weiter faktorisierte ersetzen:

$V=\mathbb C^2\otimes \mathbb C^2\otimes V_{++}$ mit den Bildern der Generatoren

$\mathbf e_0=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \otimes I_{++}$

$\mathbf e_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \otimes I_{++}$

$\mathbf e_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} \otimes I_{++}$

$\mathbf e_3=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \otimes I_{++}$

Die minimale Dirac-Spinor-Darstellung ist wieder die mit V₊₊=ℂ (und jede dazu isomorphe).

Majorana-Spinoren

Die Majorana-Spinor-Darstellung, nach Ettore Majorana, sowohl der Spin-Gruppe als auch der Clifford-Algebra ist die kleinste reelle Darstellung von Cℓ(1,3). Wir können die Analyse von oben übernehmen bis zu der Stelle, an welcher g₁ und g₁₂ auf V₊ definiert sind. Hier können wir nun V₊ nach A=g₁ zerlegen in V₊₊:=ker(I-A) und V_+-:=ker(I+A), B=g₁₂ vertauscht beide Unterräume, allerdings ist B²=-I, somit

$V_+=\mathbb R^2\otimes V_{++}$ mit $\mathbf g_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \otimes I_{++}$ und $\mathbf g_{12}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \otimes I_{++}$

Nach Ausmultiplizieren erhalten wir für V₊₊=ℝ

$V=\mathbb C^2\otimes \mathbb C^2$ mit den Bildern der Generatoren

$\mathbf e_0=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$

$\mathbf e_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$

$\mathbf e_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}$

$\mathbf e_3=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$

Drehverhalten der Spinoren

Aus dem Obigen ist die vielleicht für die Physik wesentlichste Eigenschaft der Spinoren nicht leicht zu erkennen bzw. zu folgern : Für Teilchen mit ganzzahligem Spin s (gemessen in Einheiten des reduzierten Planck'schen Wirkungsquantums $\hbar \,)$ multipliziert sich die Wellenfunktion bei einer Drehung um 2π mit dem Faktor ( − 1)^2s = + 1, während sich für Teilchen mit halbzahligem Spin der Faktor (−1) ergibt. Ganz- oder halbzahlige Werte von s sind die einzigen Möglichkeiten; die entsprechenden Teilchen werden Bosonen bzw. Fermionen genannt.

Siehe auch

• Air on the Dirac Strings
• Pauli-Matrizen
• Pauli-Prinzip
• Mathematische Struktur der Quantenmechanik