Spinmatrizen

Die Pauli-Matrizen σ₁,σ₂,σ₃ (nach Wolfgang Pauli) bilden eine Basis der hermiteschen, spurfreien 2×2–Matrizen und stellen die Wirkung der Drehimpulsoperatoren, $S_i = \frac{\hbar}{2}\, \sigma _i\,,\ i\in\{1,2,3\}\,,$ auf Spin-1/2-Zuständen, beispielsweise auf Elektronen, dar.

Die Pauli-Matrizen lauten

$\sigma _ 1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,, \quad \sigma _ 2 = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix}\,, \quad \sigma _ 3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\,.$

Sie erfüllen die Algebra

$\sigma_i \, \sigma_j = \delta_{ij} + \mathrm i\, \epsilon_{ijk}\; \sigma_k\,$

(Schreibweise in einsteinscher Summenkonvention),
also insbesondere bis auf einen Faktor 2 die Drehimpulsalgebra

$[\sigma_i\, ,\sigma_j] = \sigma_i \, \sigma_j - \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \mathrm i\, \epsilon_{ijk}\; \sigma_k\,$

und die Clifford- oder Dirac-Algebra $Cl(0,3,\mathbb R)$

$\{\sigma_i\, ,\sigma_j\} = \sigma_i \, \sigma_j + \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \delta_{ij}\,.$

Die Pauli-Matrizen gehören zum Spezialfall l = 1 / 2 von Drehimpulsoperatoren, die auf Basisvektoren Λ_m eines Drehimpuls-l-Multipletts mit Quantenzahlen m in Maßsystemen mit $\hbar=1$ folgendermaßen wirken

$L_3 \Lambda_{m}=m \Lambda_{m}\,,\ m\in\{-l,-l+1,\dots ,l\}\,,$

$L_+ \Lambda_{m}=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\, \Lambda_{m+1}\,,$

$L_- \Lambda_{m}=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\, \Lambda_{m-1}\,.$

Dabei ist 2l + 1 eine natürliche Zahl und für m treten die 2l + 1 verschiedenen Quantenzahlen $m=-l,-l+1,\dots ,l$ auf. Für l = 1 / 2 wirken die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Linearkombinationen der beiden Basisvektoren Λ_{1 / 2} und Λ _{− 1 / 2} demnach durch Multiplikation mit den folgenden Matrizen

$L_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix}\,,\ L_+ = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\,,\ L_- = \begin{pmatrix} 0& 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,.$

Mit $L_1=\frac{1}{2}(L_++L_-)$ und $L_2=\frac{1}{2\mathrm i}(L_+-L_-)$ ergibt sich dann, dass die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Spin-1/2-Zuständen durch Multiplikation mit den halben Pauli-Matrizen wirken.

Zugeordnete Drehgruppe

Die drei Pauli-Matrizen σ_i, mit der zugehörigen Lie-Algebra, erzeugen die komplexe Drehgruppe SU(2) mit Elementen

$\exp\bigl(-\mathrm i\,\frac{\alpha}{2}\mathbf \sigma\,\cdot \mathbf n\bigr) = \cos\frac{\alpha}{2}\mathbf{1} - \mathrm i \sin\frac{\alpha}{2} \sigma\,\cdot \mathbf n$

wobei die Drehachse $\mathbf n$ ein Einheitsvektor im $\mathbb R^3$ ist und α der Drehwinkel, der von 0 bis $4\pi\,$ läuft. In der Tat ergibt sich $\exp\bigl(-\mathrm i\,\pi\mathbf \sigma\,\cdot \mathbf n\bigr) = -\mathbf 1$. Erst die Drehung um 4π reproduziert jeden Spin-1/2-Zustand.

Siehe auch

• Quaternionen
• Gell-Mann-Matrizen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Pauli Matrices auf MathWorld (englisch)