Spinmatrizen

Spinmatrizen

Die Pauli-Matrizen σ123 (nach Wolfgang Pauli) bilden eine Basis der hermiteschen, spurfreien 2×2–Matrizen und stellen die Wirkung der Drehimpulsoperatoren,  S_i = \frac{\hbar}{2}\, \sigma _i\,,\ i\in\{1,2,3\}\,, auf Spin-1/2-Zuständen, beispielsweise auf Elektronen, dar.

Die Pauli-Matrizen lauten

\sigma _ 1 =  \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0 \end{pmatrix}\,, \quad

\sigma _ 2 =  \begin{pmatrix}
0 & -\mathrm i\\
\mathrm i & 0 \end{pmatrix}\,, \quad

\sigma _ 3 =  \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1 \end{pmatrix}\,.

Sie erfüllen die Algebra

\sigma_i \, \sigma_j  = \delta_{ij} + \mathrm i\, \epsilon_{ijk}\; \sigma_k\,

(Schreibweise in einsteinscher Summenkonvention),
also insbesondere bis auf einen Faktor 2 die Drehimpulsalgebra

[\sigma_i\, ,\sigma_j] = \sigma_i \, \sigma_j - \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \mathrm i\, \epsilon_{ijk}\; \sigma_k\,

und die Clifford- oder Dirac-Algebra Cl(0,3,\mathbb R)

\{\sigma_i\, ,\sigma_j\} = \sigma_i \, \sigma_j + \sigma_j \, \sigma_i  = 2\, \delta_{ij}\,.

Die Pauli-Matrizen gehören zum Spezialfall l = 1 / 2 von Drehimpulsoperatoren, die auf Basisvektoren Λm eines Drehimpuls-l-Multipletts mit Quantenzahlen m in Maßsystemen mit \hbar=1 folgendermaßen wirken

L_3 \Lambda_{m}=m \Lambda_{m}\,,\ m\in\{-l,-l+1,\dots ,l\}\,,
L_+ \Lambda_{m}=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\, \Lambda_{m+1}\,,
L_- \Lambda_{m}=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\, \Lambda_{m-1}\,.

Dabei ist 2l + 1 eine natürliche Zahl und für m treten die 2l + 1 verschiedenen Quantenzahlen m=-l,-l+1,\dots ,l auf. Für l = 1 / 2 wirken die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Linearkombinationen der beiden Basisvektoren Λ1 / 2 und Λ − 1 / 2 demnach durch Multiplikation mit den folgenden Matrizen

L_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix}\,,\ 
L_+ = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\,,\ L_- = \begin{pmatrix} 0& 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,.

Mit L_1=\frac{1}{2}(L_++L_-) und L_2=\frac{1}{2\mathrm i}(L_+-L_-) ergibt sich dann, dass die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Spin-1/2-Zuständen durch Multiplikation mit den halben Pauli-Matrizen wirken.

Zugeordnete Drehgruppe

Die drei Pauli-Matrizen σi, mit der zugehörigen Lie-Algebra, erzeugen die komplexe Drehgruppe SU(2) mit Elementen

\exp\bigl(-\mathrm i\,\frac{\alpha}{2}\mathbf \sigma\,\cdot  \mathbf n\bigr) 
= \cos\frac{\alpha}{2}\mathbf{1} - \mathrm i \sin\frac{\alpha}{2} \sigma\,\cdot  \mathbf n

wobei die Drehachse \mathbf n ein Einheitsvektor im \mathbb R^3 ist und α der Drehwinkel, der von 0 bis   4\pi\, läuft. In der Tat ergibt sich \exp\bigl(-\mathrm i\,\pi\mathbf \sigma\,\cdot  \mathbf n\bigr) = -\mathbf 1. Erst die Drehung um reproduziert jeden Spin-1/2-Zustand.

Siehe auch

Weblinks


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