Majorana-Fermion

Die nach Ettore Majorana benannten Majorana-Spinoren dienen in der Elementarteilchenphysik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen (d. h. Teilchen mit halbzahligem Spin), wenn diese gleich ihren eigenen Antiteilchen sind: so genannten Majorana-Fermionen. Diese Eigenschaft impliziert, dass die beschriebenen Teilchen keine elektrische Ladung tragen dürfen, da andernfalls Teilchen und Antiteilchen entgegengesetzt geladen sein müssten und somit klar unterschieden werden könnten (wie das beispielsweise bei Elektronen und Positronen der Fall ist).

Hauptteil

Im Standardmodell der Teilchenphysik (SM) wird keines der Elementarteilchen durch einen Majorana-Spinor beschrieben. Alle Fermionen werden hier als Dirac-Spinoren beschrieben. Majorana-Spinoren tauchen dagegen in Erweiterungen des Standardmodells auf:

• Im Standardmodell werden auch die Neutrinos als Dirac-Spinoren beschrieben, sind dort aber, im Widerspruch zu experimentellen Ergebnissen, masselos. Eine populäre Erklärung für die Neutrinomassen, der See-Saw Mechanismus, erfordert, dass die Neutrinos durch Majorana-Spinoren beschrieben werden. Es ist derzeit noch unklar, ob zwischen Neutrinos und Antineutrinos unterschieden werden kann. Eine Möglichkeit, diese Frage experimentell zu klären, bietet der neutrinolose Doppel-Betazerfall: Dieser Prozess ist nur möglich, wenn Neutrinos Majorana-Teilchen sind. In Experimenten wie dem Enriched Xenon Observatory^[1] wird nach diesem Zerfallsmodus gesucht.
  Die Existenz von Majorana-Neutrinos impliziert die Verletzung der Leptonenzahlerhaltung (wie z. B. im gerade erwähnten neutrinolosen doppelten Betazerfall), da Teilchen und Antiteilchen dieselbe Leptonenzahl zugewiesen wird.

• In supersymmetrischen Erweiterungen des Standardmodells wie dem minimalen supersymmetrischen Standardmodell (MSSM) werden sowohl die Gluinos^[2] als auch die Neutralinos durch Majorana-Spinoren beschrieben.

Von den Majorana-Fermionen zu unterscheiden sind die hypothetischen Majoronen, die zwar ebenfalls nach Ettore Majorana benannt sind, aber als Goldstone-Bosonen ganzzahligen Spin tragen.^[3]

Mathematische Beschreibung

Ähnlich den masselosen Weyl-Fermionen, für welche die Dirac-Gleichung entkoppelt, sind Majorana-Fermionen 2-Komponenten-Teilchen, jedoch mit Majorana-Masse. Die Lagrangedichte des Majorana-Teilchens ψ_M ist $\mathcal{L}=\frac{1}{2} \bar{\psi}_M\Bigl( \mathrm i \gamma^\mu \partial_\mu - m \Bigr)\, \psi_M$, wobei wie in der relativistischen Quantenmechanik üblich $\bar\psi_M=\psi_M^\dagger\gamma^0$ ist. Die zugehörige Dirac-Gleichung für ψ_M ist: $\Bigl( \mathrm i \gamma^\mu \partial_\mu - m \Bigr)\, \psi_M = 0\,.$

Setzt man $\psi_M=\begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix}$ wie bei den Weyl-Fermionen und beachtet, dass sich ψ_R unter einer Lorentztransformation verhält wie $i\sigma^2 \psi_L^*$, so kann man $\psi_M=\begin{pmatrix} \chi \\i \sigma^2 \chi^* \end{pmatrix}$ setzen und es ergibt sich für das 2-Komponentenfeld χ die Majorana-Gleichung: $i\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\chi - i m \sigma^2\chi^* =0$. Dabei enthält $\bar\sigma$ die Pauli-Spinmatrizen gemäß $\bar\sigma=(1,-\vec\sigma)$.

Die Majorana-Gleichung ist Lorentz-invariant und impliziert die Klein-Gordon-Gleichung, welche die Energie-Impuls-Beziehung festlegt.

Weblinks

• Eine kompakte Einführung in den Majorana-Formalismus: Andreas Aste: "A direct road to Majorana fields", 2008

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ Enriched Xenon Observatory
2. ↑ Gluinos im MSSM (englisch)
3. ↑ Majoron in der englischen Wikipedia