- Stirlingsche Approximationsformel
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Die Stirling-Formel ist eine mathematische Formel, mit der man für große Fakultäten Näherungswerte berechnen kann. Sie ist benannt nach dem Mathematiker James Stirling.
Inhaltsverzeichnis
Grundlegendes
Die Stirling-Formel in ihrer einfachsten Form ist eine Näherungsformel
Zu den einzelnen Elementen dieser Formel siehe Fakultät (!), Quadratwurzel (√), Kreiszahl (π) und Eulersche Zahl (e).
Genauer gilt für n > 0:
Insbesondere ist der Grenzwert des Bruches für gleich 1.
Die Stirling-Entwicklung mit der Euler-MacLaurinschen Summenformel lautet
wobei Bk die k-te Bernoulli-Zahl bezeichnet. Als Näherung betrachtet man lediglich eine endliche Zahl von Gliedern. Der Fehler liegt in der Größenordnung des ersten vernachlässigten Gliedes. Beispiel: bricht man nach dem dritten Glied ab, ist der absolute Fehler kleiner als 1 / (12n). Die Reihe selbst konvergiert nicht für festes n, sie ist eine asymptotische Entwicklung.
Für n > 751 genügen zwei Glieder für einen relativen Fehler kleiner als 0,1 Prozent:
- .
Für n > 7,31×1043 genügt ein Glied für einen relativen Fehler kleiner als 1 Prozent:
- .
Herleitung der ersten beiden Glieder
Die Formel wird oft in der statistischen Physik für den Grenzfall großer Teilchenzahlen verwendet, wie sie in thermodynamischen Systemen (Größenordnung 1023 Teilchen) vorkommen. Für thermodynamische Betrachtungen ist es meist völlig ausreichend die ersten beiden Glieder zu berücksichtigen. Diese Formel lässt sich einfach gewinnen, indem man nur den ersten Term der Euler-MacLaurin-Formel verwendet:
Stirling-Formel für die Gammafunktion
Auch die Gammafunktion lässt sich durch die Stirling-Formel abschätzen. Für x > 0 gilt
wobei μ die Abschätzung 0 < μ(x) < 1 / (12x) erfüllt. Der Wert der Approximation mit μ = 0 ist also immer etwas zu klein. Der relative Fehler ist aber für x ≥ 9 kleiner als 1 % und für x ≥ 84 kleiner als 0,1 %. Da nΓ(n) = n!, stimmt diese Approximationsformel mit der obigen für die Fakultät überein.
Anwendungen
Die Stirling-Formel findet überall dort Verwendung, wo die exakten Werte einer Fakultät nicht von Bedeutung sind. Insbesondere bei der Berechnung der Information einer Nachricht und bei der Berechnung der Entropie eines statistischen Ensembles von Subsystemen ergeben sich mit der Stirling-Formel starke Vereinfachungen.
Beispiel: Gegeben sei ein System mit N verschiedenen Subsystemen, von denen jedes m verschiedene Zustände annehmen kann. Ferner sei bekannt, dass der Zustand i mit der Wahrscheinlichkeit ωi gemessen wird. Damit müssen sich Ni Subsysteme im Zustand i befinden und es gilt Ni / N = ωi. Die Zahl der möglichen Verteilungen eines so beschriebenen Systems beträgt dann
und für dessen Entropie σ gilt
Mittels der Stirling-Formel kann man nun bis auf Fehler der Ordnung O(ln(N)) diese Formel vereinfachen zu
Damit ergibt sich für die Entropie jedes der N Subsysteme die bekannte Formel
In ähnlicher Weise erhält man (bis auf einen konstanten Vorfaktor) für den Informationsgehalt eines ebenso definierten Systems die Formel
Siehe auch
Literatur
- E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. 2. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 1995.
- Konrad Königsberger: Analysis 1. Heidelberg, Springer 2003, ISBN 3-540-40371-X.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Stirling's Approximation auf MathWorld (englisch)
- Stirling's approximation bei PlanetMath
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