Stirlingsche Formel

Die Stirling-Formel ist eine mathematische Formel, mit der man für große Fakultäten Näherungswerte berechnen kann. Sie ist benannt nach dem Mathematiker James Stirling.

Grundlegendes

Die Stirling-Formel in ihrer einfachsten Form ist eine Näherungsformel

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^{n}.$

Zu den einzelnen Elementen dieser Formel siehe Fakultät (!), Quadratwurzel (√), Kreiszahl (π) und Eulersche Zahl (e).

Genauer gilt für n > 0:

$1 < \mathrm e^{1/(12n+1)} \leq \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\cdot(\frac n{\mathrm e})^n} \leq \mathrm e^{1/(12n)} < 1+\frac1{11n}$

Insbesondere ist der Grenzwert des Bruches für $n\to\infty$ gleich 1.

Die Stirling-Entwicklung mit der Euler-MacLaurinschen Summenformel lautet

$\ln(n!) = n \ln(n) - n + {1\over 2} \ln(2\pi n) + \frac{1}{12 n} - \frac{1}{360 n^3} + \cdots + \frac{(-1)^{k-1} B_k}{(2k-1) 2k} \cdot \frac{1}{n^{2k-1}} + \cdots ,$

wobei B_k die k-te Bernoulli-Zahl bezeichnet. Als Näherung betrachtet man lediglich eine endliche Zahl von Gliedern. Der Fehler liegt in der Größenordnung des ersten vernachlässigten Gliedes. Beispiel: bricht man nach dem dritten Glied ab, ist der absolute Fehler kleiner als 1 / (12n). Die Reihe selbst konvergiert nicht für festes n, sie ist eine asymptotische Entwicklung.

Für n > 751 genügen zwei Glieder für einen relativen Fehler kleiner als 0,1 Prozent:

$\ln(n!) \approx n \cdot \ln(n) - n$.

Für n > 7,31×10⁴³ genügt ein Glied für einen relativen Fehler kleiner als 1 Prozent:

$\ln(n!) \approx n \cdot \ln(n)$.

Herleitung der ersten beiden Glieder

Die Formel wird oft in der statistischen Physik für den Grenzfall großer Teilchenzahlen verwendet, wie sie in thermodynamischen Systemen (Größenordnung 10²³ Teilchen) vorkommen. Für thermodynamische Betrachtungen ist es meist völlig ausreichend die ersten beiden Glieder $\ln(N!)\approx N\ln(N)-N$ zu berücksichtigen. Diese Formel lässt sich einfach gewinnen, indem man nur den ersten Term der Euler-MacLaurin-Formel verwendet:

$\ln(N!)=\sum_{n=1}^{N}\ln(n)\approx\int_{1}^{N}\ln(x)\,\mathrm{d}x=\left[x\ln(x)-x\right]_{1}^{N}=N\ln(N)-N+1\approx N\ln(N)-N$

Stirling-Formel für die Gammafunktion

Auch die Gammafunktion lässt sich durch die Stirling-Formel abschätzen. Für x > 0 gilt

$\Gamma(x)=\sqrt{2 \pi / x}\,\left(\frac{x}{\mathrm e}\right)^x\,\mathrm e^{\mu(x)},$

wobei μ die Abschätzung 0 < μ(x) < 1 / (12x) erfüllt. Der Wert der Approximation mit μ = 0 ist also immer etwas zu klein. Der relative Fehler ist aber für x ≥ 9 kleiner als 1 % und für x ≥ 84 kleiner als 0,1 %. Da nΓ(n) = n!, stimmt diese Approximationsformel mit der obigen für die Fakultät überein.

Anwendungen

Die Stirling-Formel findet überall dort Verwendung, wo die exakten Werte einer Fakultät nicht von Bedeutung sind. Insbesondere bei der Berechnung der Information einer Nachricht und bei der Berechnung der Entropie eines statistischen Ensembles von Subsystemen ergeben sich mit der Stirling-Formel starke Vereinfachungen.

Beispiel: Gegeben sei ein System mit N verschiedenen Subsystemen, von denen jedes m verschiedene Zustände annehmen kann. Ferner sei bekannt, dass der Zustand i mit der Wahrscheinlichkeit ω_i gemessen wird. Damit müssen sich N_i Subsysteme im Zustand i befinden und es gilt N_i / N = ω_i. Die Zahl der möglichen Verteilungen eines so beschriebenen Systems beträgt dann

$N!/(N_1!\,N_2!\,\ldots\,N_m!)$

und für dessen Entropie σ gilt

$\sigma=\ln(N!)-\ln(N_1!)-\ldots-\ln(N_m!).$

Mittels der Stirling-Formel kann man nun bis auf Fehler der Ordnung O(ln(N)) diese Formel vereinfachen zu

$\sigma\,$	$=N (\ln N - 1) - N_1 (\ln N_1 - 1) - \ldots - N_m (\ln N_m - 1)$
	$=N \ln N - N_1 \ln N_1 - \ldots - N_m \ln N_m$
	$=(N_1 + \ldots + N_m) \ln N - N_1 \ln N_1 - \ldots - N_m \ln N_m$
	$=- N_1 \ln (N_1/N) - \ldots - N_m \ln (N_m/N)$
	$=- N \sum_{i=1}^m (\omega_i \ln \omega_i)$

Damit ergibt sich für die Entropie jedes der N Subsysteme die bekannte Formel

$\sigma=-\sum_{i=1}^m \omega_i\ln(\omega_i)$

In ähnlicher Weise erhält man (bis auf einen konstanten Vorfaktor) für den Informationsgehalt eines ebenso definierten Systems die Formel

$I=-\sum_{i=1}^m \omega_i\log_2{(\omega_i)}$

Siehe auch

• Gammafunktion

Literatur

• E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. 2. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 1995.
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Heidelberg, Springer 2003, ISBN 3-540-40371-X.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Stirling's Approximation auf MathWorld (englisch)
• Stirling's approximation bei PlanetMath