Tetragon

Hierarchie der Vierecke

Ein Viereck (veraltet auch Geviert, auch Tetragon) ist eine Figur der ebenen Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. In der Mathematik definiert man (ebene) Vierecke als Polygone mit vier Ecken, und (daher auch) vier Kanten (oder Seiten). Analog zu Dreiecken ist auch eine Verallgemeinerung des Vierecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien (gekrümmte Vierecke) möglich.

Das regelmäßige (oder reguläre) Viereck ist das Quadrat.

Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck konvex (konvexes Viereck), liegt genau eine Diagonale außerhalb, so hat das Viereck eine konkave Ecke (nicht-konvexes Viereck). Bei einem überschlagenen (auch: verschränkten) Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks (als Beispiel siehe verschränktes Trapez). Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den (normalen oder "echten") Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als zwei Eckpunkte auf einer Geraden liegen.

Für jedes Viereck gilt:

• Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck beträgt 360 Grad bzw. 2π.
• Es ist Musterkachel für eine periodische Parkettierung der (euklidischen) Ebene (Raumfüller).

Spezielle Vierecke

Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. Sind je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel, spricht man vom Parallelogramm. Ein Viereck, welches vier gleich große (Innen-)Winkel (90°, siehe rechter Winkel) hat, ist ein Rechteck. Beim Drachenviereck (Deltoid) stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, und eine Diagonale wird durch die andere halbiert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es zwei Paare benachbarter Seiten gibt, die jeweils gleich lang sind. Bei vier gleich langen Seiten spricht man von einem Rhombus (Raute). Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und auch vier gleich große (Innen-)Winkel (90°). Bei einem Sehnenviereck sind die vier Seiten Sehnen des Umkreises. Sind die vier Seiten Tangenten eines Inkreises, so spricht man von einem Tangentenviereck.

Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten diverse Mengenrelationen, insb. die in der Grafik dargestellten Teilmengenbeziehungen, wie zum Beispiel:

• Quadrat ⊂ Rechteck ⊂ Parallelogramm ⊂ Trapez ⊂ konvexes Viereck

(Dabei steht jeweils der Begriff X synonym für Menge aller X)

Ferner gelten auch noch folgende Beziehungen:

• Quadrat = Rechteck ∩ Raute
• Quadrat = Drachenviereck ∩ gleichschenkliges Trapez
• Rechteck = Sehnenviereck ∩ Parallelogramm
• Raute = Drachenviereck ∩ Trapez
• Raute = Tangentenviereck ∩ Parallelogramm
• Gleichschenkliges Trapez = Sehnenviereck ∩ Trapez

Klassifikation

Die ebenen Vierecke werden nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt:

• nach Eigenschaften des Inneren:
  • konvex
  • nicht konvex

• nach Symmetrie-Eigenschaften:
  • eine Diagonale ist Symmetrieachse: Deltoid
  • beide Diagonalen sind Symmetrieachsen: Rhombus
  • die Mittelsenkrechte einer Seite ist eine Symmetrieachse: gleichschenkeliges Trapez
  • die Mittelsenkrechten zweier Seiten sind Symmetrieachsen: Rechteck
  • vier Symmetrieachsen: Quadrat
  • zweizählige Symmetrie (punktsymmetrisch): Parallelogramm
  • vierzählige Symmetrie: Quadrat

• nach der Länge der Seiten:
  • zwei Paare gleich langer gegenüberliegender Seiten: Parallelogramm
  • zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten: Deltoid (Drachenviereck)
  • gleichseitiges Viereck: Rhombus
  • die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten ist gleich: Tangentenviereck

• nach der Größe der Winkel:
  • zwei Paare gleich großer gegenüberliegender Winkel: Parallelogramm
  • zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel: gleichschenkeliges Trapez
  • gleichwinkeliges Viereck: Rechteck
  • die Summe gegenüberliegender Winkel ergibt 180°: Sehnenviereck

• nach der Lage der Seiten:
  • ein Paar paralleler Seiten: Trapez
  • zwei Paar paralleler Seiten: Parallelogramm
  • die Seiten berühren denselben Kreis (den Inkreis): Tangentenviereck

• nach der Lage der Ecken:
  • die Ecken liegen auf einem Kreis (dem Umkreis): Sehnenviereck

Formeln

Bezeichnungen am Viereck

$\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ$

$\theta = 90^\circ \Longleftrightarrow a^2+c^2 = b^2+d^2$

Die Vierecksfläche A lässt sich ermitteln aus

$A=\frac{1}{2} e f \sin \theta$

$A=\frac{1}{4}\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right) \tan \theta$

$A=\frac{1}{4}\sqrt{4e^2f^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2}$

$A=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec e|^2 |\vec f|^2 - (\vec e \cdot \vec f)^2}$

Sind die Koordinaten der Eckpunkte gegeben, so erhält man mit der gaußschen Trapezformel den einfachen Ausdruck

$\mathrm A=\frac{1}{2} \left| (y_{1}-y_{3})\cdot(x_{4}-x_{2}) + (y_{2}-y_{4})\cdot(x_{1}-x_{3})\right|$.

Ein Viereck kann unter anderem durch geeignete Kombinationen folgender Angaben (fünf voneinander unabhängige Bestimmungsstücke) beschrieben werden:

• Winkel an den Ecken (Innenwinkel)
• Länge der Seiten
• Länge der Diagonalen
• Umfang
• Fläche

Manche Kombinationen, z.B. "4 Seiten und 1 Innenwinkel" sind jedoch mehrdeutig, da die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Ecke konvex oder konkav sein kann.

Siehe auch

• Ungleichungen in Vierecken

Weblink

Konvexe Vierecke

Quadrat | Rechteck | Raute | Parallelogramm | Drachenviereck | Trapez | Sehnenviereck | Tangentenviereck